高职《经济应用数学》函数极限的概念

函数极限的概念,Functionallimit,知识目标掌握函数的极限的概念,能力目标会用函数的极限概念翻译经济与趋势相关问题,函数极限和计算(Functionallimitandcalculate),子任务导入,公司为了有效激励员工的发展，决定设立一项奖励基金，用于对年度优秀员工的奖励。公司相关规定要求：（1）.该项奖励基金每年发放一次，发放时间为每年年底；（2）.每年发放奖金总额为A万元。,为了保证基金的有效运转，公司决定先拿出一笔钱作为奖励基金，已知该基金投资的固定收益。你作为该项目的决策者之一，试根据基金设定年限（一定年限的基金或永续基金），科学地作出基金投入金额决策。,子任务分析,基金的投入资金取决于基金的年限，投入资金的固定收益计算等，因此，要科学地作出该项基金的资金投入决策，必须解决如下几方面的问题：,1单利或复利形式下的资金本息的计算；,2资金的现值计算；,3函数值的计算和函数极限的计算,单利或复利形式下的资金本息的计算,知识回顾,单利形式下的资金本息和,复利形式下的资金本息和,年复利,连续复利,资金的现值计算,按单利方式，该票据的现值P为,按年复利方式，该票据的现值P为,则每年年金现值之和为：,若每年末年金为，则按年复利计算公式可得第年到第t年末年金现值P，P，,Pn为：,如果这笔基金设置t年，那么开始投入的资金为,如果这笔基金设置为永久基金，那么开始投入的资金怎么计算呢？,找出年限无限增长()时，P的变化趋势,如何求一个对象的变化趋势？新课题啦！,3函数值的计算和函数极限的计算,新课题,实例1【变化趋势问题】小时候，我们调皮时，父母经常会教训我们：“孩子呀，你如果长期这样下去，就完蛋了！”请问这句话包含一种什么样的思想？如果用数学语言描述它，请问你如何描述？采用什么样的数学符号来表示这类问题呢？,数学描述：,实例1【储蓄问题】某储户将10万元的人民币以活期的形式存入银行，年利率为5%，如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若储户等间隔地结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问一年后该储户的本息和是多少？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？,数学描述：,这类问题有一个共同特征：当自变量逐渐增大时，相应函数值接近于某一常数极限,极限的本质：找事物的变化规律（当自变量在某一变化过程中）,定义：如果当x趋向正(或负)无穷大时(x+)(或x-)，函数f(x)无限接近于一个确定的常数(yA）,那么A称为函数f(x)当x趋向正无穷大时的极限，记作(或),一、当x时,函数的极限,该例结论又可写成=0,例1已知函数y=,判断当x+和x-时函数的极限,解：,x+和x-可以写为x,作图象,实例训练1【设备折旧费】某厂对一生产设备的投资额是1万元,每年的折旧费为该设备账面价格(即以前各年折旧费用提取后余下的价格)的,那么这一设备的账面价格(单位:万元)第一年为1,第二年为,第三年为,第四年为,-,那么按此变化趋势,随着年数的增加,账面价格如何变化?,解:,按此变化趋势,第n年时，设备的账面价格为：,定义：当x时，函数f(x)无限接近于某个确定的常数,那么A称为函数f(x)当x时的极限，记作f(x)=A或(当x时f(x)A)。,例2已知函数y=arctanx,试讨论当x时,y=arctanx是否有极限，为什么？,解：作图,由图可见，x+时，arctanx,x-时，arctanx-,实例训练建立一项奖励基金，每年年终发放一次，资金总额为10万元，若以年复利率5%计算，试求：（1）、奖金发放年限为10年，基金P应为多少？（2）、若奖金发放永远继续下去，即奖金发放年数（此时称为永续性奖金），基金P又应为多少？,设P为第n年末年金现值，n为第n年末年金，为年利率，则按年复利基本计算公式为,解：,注：复利年金现值是指按复利计算时每年发生的年金现值之和,则每年年金现值之和为：,若每年末年金为，则按复利计算公式可得第年到第n年末年金现值，n为：,当年金的年数永远继续，即时，称为永续年金,故永续年金的现值计算公式为：,(1)、当奖金发放年限为10年时，所求为普通年金现值,(2)、当奖金发放年限为时，所求为永续年金现值,所以,实例如果你计划工作五年后的存款达到30万元，想根据自己当前的存款速度，预测五年后能否实现存款计划。如何利用数学工具进行预测？,数学描述：,定义3：,如果当x无限接近于定值x，即xx（x可以不等于x）时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数，那么称为函数f(x)当xx时的极限，记作:,二、当时,函数的极限,2、函数在xx0时有无极限与函数在x0处有无定义无关,注意：,1、定义中“xx0”表示x从小于x0和大于x0的两个方向趋近于x0,数学训练：讨论下列极限是否存在：,引例【药物总量】一个病人每隔4小时注射一次150mg药物，图1-12显示了病人血液中药物的总量f(t)与时间t之间的关系，讨论当t4时，函数f(t)的极限。,在函数极限的定义中，tt0的方式是任意的。该函数为分段函数，在t=4的左、右两侧，函数f(t)的表达式不同，此时只能先对t=4的左、右两侧的变化趋势进行讨论。,三函数在点x0的左、右极限,练习1【循环数】,观察循环数列,的变化趋势,此数列无限接近于1，即,解：可以看出，随着项数n的无限增大，,从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限,增大，数列无限接近于0，即,解：得数列,练习3【房贷分析】小王工作后为了买婚房，需要从银行贷款P元，贷款年利率为r，若贷款月数为n个月，请帮小王分析按等额本息还款方式，他每个月需要还款金额。,解设St表示第t个月后仍欠银行的金额，x表示每个月的还款金额，表示月利率，则,一个月后还欠,两个月后还欠,三个月后还欠,n个月后还欠,由于到第n个月时，贷款将全部还清，所以Sn=0，由此可得月还款额为,如果银行的计息方式为连续复利，最终得到的结果为,即时，如何求解呢？,1.当x（+或-）时，函数f(x)的极限的概念.当x（+或-）时，应用观察法求函数f(x)的极限,四、小结：,4.当xx0（x0+或x0-）时，函数f(x)极限的概念,5.当xx0（x0+或x0-）时，应用观察法求函数f(x)的极限,作业,1.李先生欲按每平