《北航-高等数学-张奇业》高数讲座第一讲

,第一讲实数系基本定理及其应用,一、实数集不可数二、实数系基本定理三、基本定理的等价性四、应用,结论1:有限集等势的充分必要条件是它们的元素个数相同.,目的:认识有限集与无限集的差别.,1、势,定义1,例1正偶数集与自然数集等势.,结论2:无限集可以与其真子集等势.,一、实数集不可数,2、稠密性,(1)有理数集是稠密的:任意两个有理数间必有一个有理数;,(2)无理数集是稠密的:任意两个无理数间必有一个无理数;,(3)实数集是稠密的:任意两个实数间必有一个实数.,注记1：自然数集不稠密,结论3:正偶数集,整数集是可数集.,目的:认识同为无穷集的自然数集、偶数集、有理数集和实数集的差别.,3、不可数性,定义2,例2,0,1中的有理数构成的集合是可数集.,证(反证法),定理1,引理,可数个可数集的并集是可数集.,结论4:有理数集是可数集.,证,注记2：此方法称为对角线方法；可数集有时也称为可列集.,总结：有理数集是可数集;无理数集是不可数集;实数集是不可数集.,1.确界存在定理2.单调数列收敛定理3.区间套定理4.收敛子列定理(致密性定理)5.柯西收敛原理,二、实数系基本定理,1、确界存在定理,首先定义数集的界,上界,下界.,定义2,记,定义1,定义2,记,注记1:上确界意为最小上界;下确界意为最大下界.,定理1(确界存在定理)非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界.,例1,定理2,2、单调数列收敛定理,单调有界数列有极限.,定义3,3、区间套定理,例2,定理3(Cantor),Cantor:康托尔,18451918,德国,定理4(BolzanoWeierstrass致密性定理)有界数列必有收敛子列.,Cauchy:柯西,17891857,法国,4、致密性定理,定义4,Bolzano:波尔察诺,17811848,捷克Weierstrass:维尔斯特拉斯,1815-1897,德国,5.柯西收敛原理,定理5(柯西收敛准则),引理,三、基本定理的等价性证明,确界定理,单调有界,闭区间套,柯西准则,致密性,定理2,单调有界数列有极限.,定理3(Cantor),定义3,证(1)存在性,(2)唯一性,证,定义4,定理7(柯西收敛准则),证(必要性),引理,（充分性）,证只证(2),(1)类似,定理1(确界存在定理)非空有下界的数集必有下确界;(2)非空有上界的数集必有上确界.,定义2,注记:1.确界存在定理称为实数系的连续性定理,柯西存在准则称为实数系的完备性定理,由上面的等价性知连续性与完备性是等价的.2.完备性本质上是对极限运算封闭,有理数系是不完备的.,四、应用,无界数列与无穷大数列的关系函数极限与数列极限的关系定理3.闭区间上连续函数的性质(1)有界性定理(2)最大最小值定理(3)零点存在定理,1.无界数列与无穷大数列的关系,推论:不是无穷大量的无界数列一定有收敛子列.,海涅定理,2、函数极限与数列极限的关系,(1)有界性定理,3.闭区间上连续函数的性质,区间套定理+局部有界性,(2)最值定理,确界定理+致密性定理+连续定义+极限夹逼准则,(3)零点存在定理,区间套定理+连续定义+局部保序性,五、小结,实数集不可数,实数系五个基本定理的等价性,闭区间上连续函数性质的证明,作业,1.实数系基本定理等价性的其他证明.2.不是无穷大量的无界数列一定有收敛子列.,3.利用确界定理证明闭区间上连续函数零点存在定理.,参考书1.华东师大数学系.数学分析(第三版,上册),高等教育出版社.2.陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第二版,上册),高等教育出版社.3.裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第二版),高等教育出版社.,(3)零点存在定理,波尔查诺（BernardBolzano），捷克数学家、哲学家。1781年10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。1819年因为宗教斗争失去教授及院长职位，并且受到政治监督，直到1825年,波尔查诺（BernardBolzano），捷克数学家、哲学家。1781年10月5日生于布拉格，1848年12月18日卒于布拉格。1796年入布拉格大学哲学院攻读哲学、物理学和数学，1800年又入神学院，1805年任该校宗教哲学教授。1815年成为波希米亚皇家学会的会员，1818年任该校哲学院院长。,F.克莱因:“波尔查诺是算术化之父,主要成绩波尔查诺的主要数学成就涉及分析学的基础问题。他在纯粹分析的证明(1817)中对函数性质进行了仔细分析,在A.-L.柯西之前首次给出了连续性和导数的恰当的定义；对序列和级数的收敛性提出了正确的概念；首次运用与实数理论有关的原理：如果性质不是对变量所有的值成立，而对小于某个的所有的值成立，则必存在一个量，它是使不成立的所有(非空)集的最大下界。在1834年撰写但未完成的著作函数论中，他正确地理解了连续性和可微性之间的区别，在数学史上首次给出了在任何点都没有有限导数的连续函数的例子（用曲线表示的函数，没有解析表达式）。波尔查诺对建立无穷集合理论也有重要见解,在无穷的悖论(1851)中,他坚持了实无穷集合的存在性，强调了两个集合的等价概念（即两集合元素间存在一一对应），注意到无穷集合的真子集可以同整个集合等价。对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了。（这其中的主要原因可能是他生于一个当时数学并不发达的国度，也缺乏与国外的交流）。轶闻波尔查诺还有一则逸闻。有一次在布拉格度假，突然间生病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧几里德的几何原本。当他阅读到第五卷比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏几何原本。,维尔斯特拉斯（Weierstrass，KarlTheodorWilhelm）(1815-1897)“维尔斯特拉斯是我们大家的老师”-埃尔米特“一个没有几分诗人才气的数学家永远不会成为一个完美的数学家。”-维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯是德国分析学家，对复变函数论、幂级数、椭圆函数、连续性、二次型以及变分学贡献尤著。他生於德国威斯特伐利亚的小村落奥斯滕费尔德，卒於柏林。他曾於波恩大学（BonnUniversity）学法律和财政，但因酗酒和击剑度过四年而未获学位；后于1838年改学数学而得古德曼的热心教导。在1842年1855年间，先后在几个小城镇的中学任教14年之多。除了教数学之外，还教物理、德语、作文、地理以及体育等课程，业馀坚持数学研究。在此期间，他未与数学界接触而独力发展一套全新且严密的数学分析方法，使他得以描述一种连续而又到处不可微的函数，从而完全地推翻了关於这些概念的直观方法。,1854年，他发表了一本关於发展阿贝尔（Abel）函数论成果的专论关於阿贝尔函数论公诸于世之后，根据他的学术成就，哥尼斯堡大学授予他名誉博士学位。1856年由库默尔推荐成为柏林大学助理教授，1865年晋升为教授。生前，他的研究结果大都是向学生讲授传播的。1886年，他出版了函数论论文集。虽然他的著作不多，但却发表了最有影响的论文。维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学和缐性代数等方面。他是把严格的论证引进分析学的一位大师。他的批判精神对19世纪数学产生很大影响。他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用单调有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格定义，还在1861年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术化做出重要贡献。他完成了由柯西（Cauchy）引进的用不等式描述的极限定义（所谓-定义）。在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献。他建立了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基本理论，得到代数函数论及阿贝尔积分中的某些结果。在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解。在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面。在缐性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵。他还是一位杰出的教育家，一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、米塔列夫勒、朔特基、富克斯等。,柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857）出生生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的解析函数论和拉普拉斯的天体力学，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。,19世纪初，微积分学是不严格的。他率先定义了级数的收敛、绝对收敛、序列和函数的极限，并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性的柯西准则。他定义了上、下极限,并证明了其收敛性。他最先使用极限符号。柯西还建立了连续函数的概念，并强调微商是一个极限。他用和的极限给定积分下了第一个合适的定义，并研究了奇异积分。同时，他亲自计算出许多经典的积分。柯西经常用“无穷小”这个词，但他不了解一致收敛的重要性，因此，他的微积分学也有漏洞。毫无疑问，他是经典分的奠基人之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。柯西最出色的贡献是在复变函数论领域。现代复变函数理论发端于他的工作。首先，他证明了复数的代数与极限运算的合理性，定义了复函数的连续性。他给出了柯西-黎曼方程,定义了复函数沿复域中任意路径的积分，并得到重要的积分定理，导出了著名的柯西积分公式。这个定理和公式是复函数论的基础。柯西对微分方程的重要贡献是他提出了两个基本问题：解的存在性和解的惟一性,给出柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理。这两个问题的提出，开创了微分方程研究的新局面。他还创造了解线性偏微分方程的特征值方法，并在研究数学物理方程的过程中，独立地发现了傅里叶变换的逆公式。柯西是一位多产的数学家,一生共发表论文800余篇，著书7本。柯西全集共有27卷。其中最重要的是分析教程、无穷小分析教程概论、微积分在几何上的应用。他的数学成就影响广泛，意义深远。,德国数学家。生于柏林，卒于哈雷。1838年到柏林大学、格丁根大学攻读，是高斯、狄利克雷的学生。1842年在柏林大学获得哲学博士学位。1844年任教于波恩大学，1848年5月成为特别教授，同年9月被骋为哈雷大学教授，18641