矩形、菱形与正方形..ppt

第四章基本图形(一),第20讲矩形、菱形与正方形,(学P72),第二篇图形与几何,1矩形性质和判定(1)性质对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴；矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；矩形的四个角都是角；矩形的对角线互相平分并且,直,相等,(2)判定有三个角是的四边形；是平行四边形且有一个角是；的平行四边形；的四边形2菱形性质和判定(1)性质菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴；菱形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；菱形的四条边都；对角线，且每一条对角线,互相垂直平分,相等,平分一组对角,对角线相等且互相平分,对角线相等,直角,直角,(2)判定四条边都的四边形；有一组的平行四边形；对角线的平行四边形；对角线的四边形3正方形(1)性质正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点；正方形的四个角都是，四条边都；两条对角线，并且每一条对角线,相等,邻边相等,互相垂直,互相垂直平分,直角,相等,相等,互相垂直平分,平分一组对角,(2)判定邻边相等的；有一角是直角的4平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,矩形,菱形,正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形),1(2013德州)下列命题中，真命题是()A对角线相等的四边形是等腰梯形B对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C对角线互相垂直的四边形是菱形D四个角相等的四边形是矩形,2(2013凉山州)如图，菱形ABCD中，B60，AB4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(),A14B15C16D17,D,C,3如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC6，BD4，则菱形ABCD的周长是(),C,A24B16C4D2,4(2013台湾)如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连结BG.根据图中标示的角判断下列1、2、3、4的大小关系为()A12B12C34D34,D,5(2013遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB6cm，BC8cm，则AEF的周长cm.,9,(学P73),【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题，回答下列问题：(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中：,(2)要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_相等；或者先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一角是_,(3)如图菱形ABCD，某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是Sa2，对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，举出一个反例来说明,【解析】(1)根据在平行四边形中，邻边相等的是菱形，邻边垂直的是矩形，而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，可根据此关系来画图如图,(2)根据正方形的判定方法进行解答即可即两种常见的方法：一组邻边相等的矩形是正方形一个角是直角的菱形是正方形填：一组邻边，直角,(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，将正方形分成两个直角三角形的面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来求证结论正确,证明：S正方形ABCDSAOBSAODSCODSBOC4aaa2.,【归纳】复习平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，以及性质与判定,类型一矩形的性质与判定,例1(2013铜山)如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证：ABEFCE；(2)连结AC、BF，若AEC2ABC，求证：四边形ABFC为矩形,【思路分析】(1)利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等；(2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形,【答案】证明：(1)E是BC中点，BECE.四边形ABCD是平行四边形ABDF，BAECFE.在ABE与FCE中，ABEFCE(AAS)(2)AECABEBAE，又AEC2ABC，ABEBAE，AEBE.由(1)ABEFCE，得AEEF.CEFE，AEEFBECE，则AFBC，,BAECFE，AEBFEC，BECE,【解后感悟】矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，同时也具有特殊的性质；同时，判定矩形的方法也是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后判断是矩形,故四边形ABFC为矩形(对角线相等且平分的四边形是矩形),1(2013聊城)如图，四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足为E，求证：AECE.,【答案】略,类型二菱形的性质与判定,例2(2013黄冈)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DHAB于H，连结OH，求证：DHODCO.,【思路分析】根据菱形的对角线互相平分可得ODOB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OHOB，然后根据等边对等角求出OHBOBH，根据两直线平行，内错角相等求出OBHODC，然后根据等角的余角相等证明即可,【答案】证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90，DHAB，OHOB，OHBOBH，又ABCD，OBHODC，在RtCOD中，ODCDCO90，在RtDHB中，DHOOHB90，DHODCO.,【解后感悟】本题是菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键,(学P74),2(2013安顺)如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连结CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积,【答案】(1)略；(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为2，菱形的面积为428.,类型三正方形的性质与判定,例3如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DECF，连结DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AMDF.,【思路分析】根据DECF，可得出OEOF，继而证明AOEDOF，得出OAEODF，然后利用等角代换可得出DME90，即可得出结论,【答案】证明：四边形ABCD是正方形，ODOC.又DECF，ODDEOCCF，即OFOE，在RtAOE和RtDOF中，AOEDOF，OAEODF.OAEAEO90，AEODEM，ODFDEM90，即可得AMDF.,【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形,AODO，AODDOF，OEOF，,【答案】(1)只要证明BEFDGF(SAS)，BFDF；(2)BFDF点F在对角线AC上ADEFBCBECFAEAFAEAEBECF.,3(2014济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连结BF、DF.(1)求证：BFDF；(2)连结CF，请直接写出BECF的值(不必写出计算过程),类型四特殊平行四边形的综合运用,例4(2014威海)猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论拓展与延伸：(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为_,(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立,【思路分析】猜想：延长EM交AD于点H，利用FMEAMH，得出HMEM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明(1)延长EM交AD于点H，利用FMEAMH，得出HMEM，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明；(2)连结AE，AE和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明,【答案】猜想：DMME证明：如图1，延长EM交AD于点H，,四边形ABCD和CEFG是矩形，ADEF，EFMHAM，又FMEAMH，FMAM，在FME和AMH中，FMEAMH(ASA)HMEM，在RtHDE中，HMEM，DMHMME，DMME.,EFMHAM，FMAM，FMEAMH，,(1)如图1，延长EM交AD于点H，四边形ABCD和CEFG是正方形，ADEF，EFMHAM，又FMEAMH，FMAM，在FME和AMH中，FMEAMH(ASA)HMEM，在RtHDE中，HMEM，DMHMME，DMME，故答案为：DMME.,EFMHAM，FMAM，FMEAMH，,(2)如图2，连结AE，四边形ABCD和ECGF是正方形，FCE45，FCA45，AE和EC在同一条直线上，在RtADF中，AMMF，DMAMMF，在RtAEF中，AMMF，AMMFME，DMME.,【解后感悟】本题是四边形的综合题，解题的关键是利用正方形的性质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段,(1)连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF；(2)填空：当t为s时，四边形ACFE是菱形；当t为s时，以A，F，C，E为顶点的四边形是直角梯形,4(2013河南)如图，在等边三角形ABC中，BC6cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s),6,【答案】(1)证明：AGBCEADACBD是AC边的中点ADCD又ADECDFADECDF(2)当四边形ACFE是菱形时，AEACCFEF由题意可知：AEt，CF2t6，t6若四边形ACFE是直角梯形，此时EFAG过C作CMAG于M，AM3，可以得到AECFAM，即t(2t6)3，t3，此时，C与F重合，不符合题意，舍去,若四边形AFCE是直角梯形，此时AFBC，ABC是等边三角形，F是BC中点，2t3，得到t经检验，符合题意,(学P75),【课本改变题】教材母题浙教版八下第147页，作业题第5题【试题】(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，AOF90.求证：BECF；,(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，FOH90，EF4.求GH的长；,(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，FOH90，EF4.直接写出下列两题的答案：如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示),【分析与解】(1)证明：如图1，四边形ABCD为正方形，ABBC，ABCBCD90，EABAEB90.EOBAOF90，FBCAEB90，EABFBC，ABEBCF，BECF.,(2)解：如图2，过点A作AM/GH交BC于M，过点B作BN/EF交CD于N，AM与BN交于点O，则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，EFBN，GHAM，FOH90，AM/GH，EF/BN，NOA90，故由(1)得，ABMBCN，AMBN，GHEF4.(3)84n.,【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题从课本题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验，领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之一，平时学习要重视一些典型的基本图形,由于思维定势，对问题考虑不全【问题】若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为_,【分析】只凭主观印象作出结论，漏掉另一种情况这里由条件“射线BM交正方形的一边”可知，F有在边AD上和CD上两种情况,【正解】由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形：,BM或,第1题图,1如图，矩形纸片ABCD中，AB6cm，BC8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为()A6cmB4cmC2cmD1cm,C,2如图，在ABC中，ACB90，BC的垂直平分线EF