第十章§10.3第四课时组合的综合应用

第四课时排列与组合的综合应用,课前自主学习,课标研读1进一步理解和掌握两个计数原理在排列与组合问题中的应用；掌握排列组合综合应用题的一些常见模型及其解答方法2重点是用排列组合的观点解决实际问题，难点是排列与组合的区分,温故夯基1从n个不同元素中任取m个元素，若元素之间与顺序有关则为问题，与顺序无关则为问题2Anm或.Cnm或或.,排列,组合,n(n1)(n2)(nm1),知新益能解排列组合综合题，常采取先组合(选元素)，后排列(排元素)的原则组合与排列的关系(1)共同点：_(2)不同点：排列与这m个元素的顺序_，而组合与顺序_组合是排列的第一步,都是从n个不同的元素中取出m个元素,有关,无关,问题探究生活中的人员“分组”问题是组合问题吗？提示：不一定如甲、乙、丙、丁四人分成两组有两类情况，1人和3人，2人和2人若分为1人和3人的两组，其分法总数为C414种，即甲和乙丙丁，乙和甲丙丁，丙和甲乙丁，丁和甲乙丙，共4种方法若分为2人和2人的两组，其分法总数不是C42，而是甲乙和丙丁，甲丙和乙丁，甲丁和丙乙共3种分法,课堂互动讲练,组合是排列的第一步，研究排列问题首先研究取出元素的方法，即组合问题，然后再考虑元素具体的排列方法，要分清研究的元素是有顺序还是无顺序问题,有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【分析】“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑,【解】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C53C32C54C31种，后排有A55种，共(C53C32C54C31)A555400(种)(2)除去该女生后，先选后排有C74A44840(种)(3)先选后排，但先安排该男生有C74C41A443360(种)(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排列有A33种，共C63C31A33360(种),【点评】8个元素选出5个元素，而且还要这5个元素分别占据5个空位置，因此这是一道“既选又排”的排列组合综合问题解决此类问题应熟练应用“先选后排”的方法，而且还要注意优先安排特殊元素的原则若该问题只选出5人而没有担任5项不同的工作，将是“只选不排”的一个纯组合问题，注意两者的本质区别,从题意表面上看是排列问题，但所取出的元素的顺序题意中已经说明，我们所做的工作实际上就是只取出元素即组合问题,名师生站成一排照相留念，其中1名老师，男生4名，女生2名老师站在正中间，4名男生身高不等，要求从左到右按由高到低的顺序有多少种站法？【分析】把此题设置成填框图的形式，7个人站7个位置，老师占中间的位置是确定的，只考虑6个学生的站法，而四个男生是固定顺序，只要选好其位置就可以，所以只考虑两个女生的站法,【解】4男2女共站6个位置，女生的站法是A62，男生的站法只有1种，7人共有A6216530(种)【点评】四名男生是固定顺序的排列，只要确定位置其顺序就一种,若本例中的7人不变，老师站在正中间，老师两侧由里向外逐渐是由矮到高的排列，有多少种站法？解：老师只有1种站法，老师两侧各有3人，只要选定其中3人，其站法就是确定的，共有C63种方法，共有C63120(种),分组问题，用组合观点解释时要注意是平均分组还是非平均分组将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两人元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则,有6本不同的书，按照以下要求处理，分别有多少种不同的分法：(1)将6本书分给三个人，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(2)将6本书分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；(3)将6本书平均分给三个人，每人两本；(4)将6本书平均分为三堆，每堆两本,【分析】注意分组的各种类型的计算方法，对于分配问题可以按要求逐个分配，也可先分组再分配【解】(1)不平均定向分配问题分成三堆的方法有C61C52C33种，但每种分组方法又仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的方法也是C61C52C3360种,(2)不平均不定向分配问题由(1)知，分为三堆的方法有C61C52C33种，但每种分组方法又有A33种分配方法，故一人一本，一人两本，一人三本的方法有C61C52C33A33360种(3)平均分配问题将6本书平均分给三个人时，三个人一个一个地来取书，甲从6本书中任取2本的方法有C62种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取2本，有C42种方法，甲、乙不论用哪种方法各取两本书后，丙从余下的2本书中取出2本书，有C22种方法，所以一共有C62C42C2290种方法,【点评】(1)对于分组问题注意是平均分组还是非平均分组，对于平均分组要注意不要重复，平均分n组就必须除以Ann.(2)分配问题可以按要求逐个分配，也可先分组再分配,思维误区警示,在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，则不同的分法有()A480种B240种C120种D96种,【错解】先从5本书中取4本分给4个人，有A54种方法，剩下的1本书可以给任意一个人，有4种分法，共有4A54480种不同的分法，故选A.,【错因】设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下表1和表2：,表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况这两种情况是完全相同的，而在错解中计算成了不同的情况，正好重复了一次,【自我挑战】首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有C52种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有A44种方法由乘法原理，共有C52A44240种方法，故选B.,规律方法总结,1基本原则一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步,2步骤与方法(1)步骤：,(2)方法：相邻元素归并法(又称捆绑法)；相离元素插空法；定位元素优先安排法；有序分配依次分组法；多元素不相容情况分类法；交叉问题集合法；混合问题先组合后排序法；“至少”、“至多”问题间接排除法,3分组问题常见形式及处理方法(1)非均匀不编号分组(不平均分组)n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：ACm1nCm2nm1Cm3n(m1m2)Cmnn(m1mn1),随堂即时巩固,1(2010年肇庆市模拟)从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若甲、乙两人不能从事A工作，则不同的选派方案共有()A280种B240种C180种D96种解析：选B.A工作从甲、乙之外的四人中选1人：有C41种方法，其余3项工作从5人中选3人有A53种方法，共有C41A534543240(种),2(2010年高考山东卷)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A36种B42种C48种D54种,解析：选B.分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位，有C31种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C31A33种排法依分类加法计数原理，知共有A44C31A3342(种)编排方案,3从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有()A210种B420种C630种D840种解析：选B.分两类