高数换元积分法的课件

1,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表,2.直接积分法:,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,复习4-1不定积分的概念与性质,2,二、第二类换元法,一、第一类换元法,4-2换元积分法,3,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,复合函数求导,4,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),5,注：,定理说明：若已知,则,因此该定理的意义就在于把,又称为积分的形式不变性,故扩展了基本积分表的适用范围,凑微分,6,凑微分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量,例1求,解（一）,解（二）,解（三）,注：形式不一样，实质差常数,7,例2.求,解:,令,则,联想公式,例2-例4类型相同,8,例3.求,想到,解:,(直接配元),9,例4,解,注：拆项是常用的技巧,10,例5.求,解:,类似,例5-例6类型相同,11,例6求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,12,解（二）,13,类似地可推出,解（三）,14,常用的几种配元形式:,15,例7求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,16,例8求,解,积化和差,17,例9求,原式,解,分母有理化,18,例10求,凑微分,配方,19,解,例11设求.,令,20,例12求,解:原式,21,第一类换元法常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,凑幂法,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,22,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,23,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:,令,则,则有换元公式,24,例1.求,解:令,则,原式,取单调区间,25,例2.求,解:令,则,原式,取单调区间,26,例3.求,解:,令,则,原式,取单调区间,27,令,于是,28,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注：所作代换的单调性。对三角代换而言，取单调区间即可。,29,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例中,令,30,说明(3),积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,（三角代换很繁琐，采用根式代换）,解,令,31,说明(4),当分母的阶较高时,可采用倒代换,例求,解,令,32,例求,解,令,33,第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,后讲,令,(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,34,基本积分表,35,36,解:原式,例1.求,例2.求,解:,37,小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换