2011高考数学一轮复习 数列求和课件

第四节数列求和,常用数列求和的方法1.公式法直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.2.倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和.,3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子Sna1a2an的两边同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出Sn.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.,5.分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.,1.数列(1)nn的前2010项的和S2010为()A.2010B.1005C.2010D.1005,解析：S20101234520092010(12)(34)(20092010)1005.,答案：D,2.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A.2nn21B.2n1n21C.2n1n22D.2nn22,答案：C,解析：Sn2n12n2.,3.数列，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为()A.10B.9C.10D.9,an=,解析：数列an的前n项和为所以n9，于是直线(n1)xyn0即为10 xy90，所以在y轴上的截距为9.,答案：B,4.数列1,前10项的和为.,解析：,=(1+4+7+28),答案：,5.设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9.,解析：由等差数列的性质得S99a572，a58，a2a4a9a1a5a93a524.,答案：24,1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.,2.常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn，数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和.,【注意】应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值.,求数列的前n项和Sn.,将各式变形，使其呈现出某种特点，再利用等差、等比数列的求和公式进行求和.,【解】1，2，3，4，Sn(n)(123n)()1.,1.求下面数列的前n项和：11，4，7，3n2，,解：前n项和为Sn(11)(4)(7)(3n2)(1)147(3n2)，设S11，当a1时，S1n；当a1时，S1，,S2147(3n2).当a1时，SnS1S2n；当a1时，SnS1S2.,1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,【注意】利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,数列an满足a11，a22，an2(1cos2)ansin2，n1,2,3，,(1)求a3、a4可利用a1、a2递推，求an时需先化简递推关系；(2)用错位相减法求.,(1)求a3，a4的值，并求数列an的通项公式；(2)设bnSnb1b2bn，求Sn.,【解】(1)当n1时，a3(1cos2)a1sin2a112，当n2时，a4(1cos2)a2sin22a24.当n为奇数时，cos20，sin21，当n为奇数时，an2an1，a11，a2n1n.当n为偶数时，cos21，sin20，当n为偶数时an22an，a22，a2n2n.,Sn(2)由(1)可知bn，Sn，Sn.,得：(1)Sn，Sn1Sn2.,2.(2010泉州模拟)设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn求数列cn的前n项和Tn.,解：(1)当n1时，a1S12；n2时，anSnSn12n22(n1)24n2，当n1时，满足an4n2，故an的通项公式为an4n2，即an是a12，公差d4的等差数列.设bn的公比为q，则b1qdb1，d4，q=故bnb1qn12即bn的通项公式为bn=,Tnc1c2cn1341542(2n1)4n1，4Tn14342543(2n3)4n1(2n1)4n.两式相减得3Tn12(4142434n1)(2n1)4n(6n5)4n5.Tn(6n5)4n5.,1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.2.一般情况如下，若an是等差数列，则此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和.,3.常见的拆项公式有：,(1)(2)(3)(4),已知数列an，bn满足：a1，anbn1，bn1(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.,由anbn1易得bn+1构造新数列,【解】(1)bn1，a1，b1，b2，b3，b4.(2)bn111，1，数列是以4为首项，1为公差的等差数列，,3.已知函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2.数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数m.,解：(1)依题意可设f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由f(x)6x2得a3，b2，f(x)3x22x.又由点(n，Sn)(nN)均在函数yf(x)的图象上，得Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S1312211615.所以an6n5(nN).,（2）由（1）得bn=,故Tn=,因此，使得成立的m必须且仅需满足即m10，故满足要求的最小正整数m为10.,数列求和与不等式、函数等其他知识的综合问题可以很好地考查逻辑推理能力，近几年的新课标高考试题中此类问题时有出现，因此，这类综合题有可能成为高考的命题方向.2009年全国卷第20题综合考查了数列的递推公式、等比数列的前n项和以及分组求和和错位相减法求和等基础知识.,(2009全国卷)在数列an中，a11，an1(1)an(1)设bn，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.,解(1)由已知得b1a11，且，(1分)即bn1bn，(2分)从而b2b1，b3b2，bnbn1(n2)，(4分),于是bnb12(n2)又b11，故所求的通项公式bn2.(6分)(2)由(1)知，