高中数学教师备课必备系列(函数的应用)：专题八--函数中的含参问题

.专题八 函数中的含参问题纵观近几年高考对于基本初等函数的考查，基本初等函数中的参数问题一直是高考考查的热点问题之一.高考考查参数的常见类型主要有：已知集合之间的包含关系求参数；已知函数的性质求参数；已知函数的零点或方程、不等式有实数解求参数及已知函数图象特征求参数.针对高考考查的常见类型进行归纳整理，抓住基本初等函数的图象与性质，从“数”与“形”两个方面，进行全面系统复习，有助于适应高考的要求，获取高考高分.1 集合关系下求参数问题 已知集合之间的关系求参数的范围，是常见题型之一，此类问题常常与函数相结合，其解法通常是借助于数轴，构建不等式（组）或应用函数的性质求解.例 1已知集合，其中，若，则实数k的取值范围是（ ）A B C D思路分析：由知，集合A表示单位圆上的点，而则表示恒过（0，2）点的直线一侧区域，要使，则集合A表示的区域在集合B表示的区域里，画图便知当直线与圆相切时，而直线的斜率k的范围为。例2已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）A B C D而思路分析：将集合B得，则或，通过数轴便知 .2 与函数的奇偶性有关的求参数问题 已知函数的奇偶性求参数，通常是应用奇偶函数的定义，构建恒等式，或借助于函数图象的对称性解题.例3已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D思路分析：根据函数奇偶性求出，表示出为，此时利用换元法设，则不等式化为，分离参数，从而求出的取值范围.点评：换元法经常和数列、超越函数等知识点结合在一起运用局部换元：解决超越方程、超越不等式、 超越函数（指数对数和高次函数等）问题，运用三角换元：一般来说具有有界性的式子，都能用三角换元来方便运算，难点是均值换元：均值换元可用在数列求通项和参数方程以及不等式中应用简化运算换元时要注意新元的取值范围不能发生改变 例 4设定义在区间上的函数是奇函数，则的取值范围是 .思路分析：根据函数是奇函数，所以，求得（2016舍去），所以由得，所以（由得），从而求出的取值范围.3 与函数的单调性有关的求参数问题 已知函数的单调性求参数，通常是应用增函数、减函数的定义构建不等式（组），或应用分离参数法，转化成求函数的最值问题.例 5已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A B C D思路分析：由题意，本题相当于在区间上有解，最后将问题转化为不等式在区间上有解，设，结合二次函数的性质，可知只要或即可，将和分别代入，求得结果，取并求得答案.点评：由该题考查的是函数存在增区间的条件，属于较难题目，在解题的过程中，紧紧抓住导数的应用，转化成不等式在给定区间上有解. 例 6已知，函数若 ，则实数t的取值范围为 .思路分析：分类讨论：当时，利用正弦函数的单调性得，；当时，根据，恒成立综合两种情况即得实数t的取值范围为.【解析】：点评：本题综合考查分段函数的概念、二次函数与三角函数的性质，以及不等式恒成立问题，题目较为新颖.4 与函数方程有关的求参数问题 已知方程有实数解(函数有零点、函数图象有公共点)求参数，通常是通过分离参数，转化成求函数的最值或借助于函数的图象，利用数形结合思想求解.例 7已知函数（且）和函数 ，若与两图象只有3个交点，则的取值范围是（ ） A B C D思路分析：由题意得，画出与的图像，分别讨论和，观察只有3个交点的情况，从而求出.【解析】：与的图像如图所示：当时，与两图像只有3个交点，可得；当时，与两图像只有3个交点，可得所以的取值范围是，故答案选.点评：在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，即把方程写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系 例 8已知是定义在上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .思路分析：作出函数的图象，可见，当时，；方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点.根据函数的周期为3，直线与函数的图象应该是4个交点，即得5 与不等式成立（恒成立）有关的求参数问题 已知不等式成立（恒成立）求参数，通常是通过解不等式（组）或利用数形结合思想或通过分离参数，使问题转化成研究函数的最值求解.例 9 设函数，若,则实数的取值范围是（ ）A B C D思路分析：由题意，表示出由得，讨论和，带入原式，从而求出的取值范围【解析】：由题意若即当时，此时即为结合即，可知此时；当时，此时即为结合即，取交集即为，综上，实数的取值范围是. 点评：本题考查分段函数，对数函数的性质，对数不等式的解法等知识，属中档题解释由已知条件得到仍为分段函数，讨论和两种情况，化简不等式，解之即可注意每一种情况中求的是交集，而最后两种情况求的是并集 例 10已知函数， 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D思路分析：由函数在R上单调递增，对任意的，不等式恒成立，分别讨论，的情况，将问题转化.6 函数综合应用中的求参数问题 函数的综合应用问题，往往涉及函数的性质及导数的应用，一般与“恒成立问题”相关，通常是运用转化与化归思想、数形结合思想，灵活处理.例 11已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 思路分析：首先根据奇偶性由原式可得，又根据单调性化简得，可知点在以为圆心以2为半径的圆内，利用圆的内部各点到原点的距离的最值是圆心到原点的距离加减半径，可得到的范围 点评：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性、圆的几何性质，属于难题.例 12已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则 思路分析：对原函数进行求导，在上是增函数，在恒成立，根据是上的减函数的最小值大于等于0即可，即，再 求出函数的最大值，因为函数的最大值与最小值的差为，时，时，此时内单调递减，所以函数在处取得最大值，在处取最小值，不符合，舍去. 综合上面的各种类型，解决基本初等函数中的参数问题，要点有：一是对基本初等函数图象与性质的熟练掌握；二是数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归