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,常数项级数,函数项级数,一般项级数,正项级数,幂级数,三角级数,收敛半径R,泰勒展开式,数或函数,函数,数,任意项级数,傅氏展开式,傅氏级数,泰勒级数,满足狄氏条件,一、主要内容,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,定义,2、正项级数及其审敛法,审敛法,(1)比较审敛法,(2)比较审敛法的极限形式,定义正、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,5、函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,(3)和函数,(1)定义,6、幂级数,(2)收敛性,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,a.代数运算性质:,加减法,(其中,(3)幂级数的运算,乘法,(其中,除法,b.和函数的分析运算性质:,7、幂级数展开式,(1)定义,(2)充要条件,(3)唯一性,(3)展开方法,a.直接法(泰勒级数法),步骤:,b.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,(4)常见函数展开式,(5)应用,a.近似计算,b.欧拉公式,(1)三角函数系,三角函数系,8、傅里叶级数,(2)傅里叶级数,定义,三角级数,其中,称为傅里叶级数.,(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),(4)正弦级数与余弦级数,奇延拓:,(5)周期的延拓,偶延拓:,二、典型例题,例1,解,根据级数收敛的必要条件，,原级数收敛,解,根据比较判别法，,原级数收敛,解,从而有,原级数收敛；,原级数发散；,原级数也发散,例,解,即原级数非绝对收敛,由莱布尼茨定理：,所以此交错级数收敛，,故原级数是条件收敛,例,解,两边逐项积分,例4
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