理解傅里叶级数ppt课件

.,高等数学,第十章无穷级数,.,10.5傅里叶级数*,10.5.6小结,10.5.1三角级数与三角函数系的正交性,10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数,10.5.3区间上函数的傅里叶级数,10.5.4正弦级数和余弦级数,10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数,.,10.5.1三角级数与三角函数系的正交性,函数项级数,称为三角级数，,其中,是常数,称函数族,为三角函数系,.,三角函数系的正交性是指：,三角函数系中,任何两个不同的函数的乘积在区间,上,的积分等于零,即,.,10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数,通常，由下述公式确定的,称为函数,的傅里叶系数,.,将傅里叶系数值代入展开式的右端,得到的三角级数,称为函数,的傅里叶级数,.,定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设,是周期为,的周期函数,如果它满足,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断,点在一个周期内至多只有有限个极值点,则,的傅里叶级数收敛并且：,(1)当,是,的连续点时级数收敛于,(2)当,是,的间断点时级数收敛于,.,例1设,是周期为,的周期函数它在,上的表达式为,将,展开成傅里叶级数,解所给函数,满足收敛定理的条件，,函数在点,处不连续,在其它点处连续，,从而由收敛定理知道,的傅里叶级数收敛，并且当,时收敛于,.,当,时级数收敛于,傅里叶系数计算如下,.,于是,的傅里叶级数展开式为,.,10.5.3区间上函数的傅里叶级数,例2将函数,展开成,傅里叶级数,解将函数,延拓成以,为周期的函数,易知，函数,满足收敛定理的条,件，傅里叶系数为,.,所以，函数,的傅里叶级数展开式为,.,10.5.4正弦级数和余弦级数,一、正弦级数和余弦级数,定理2对于周期为,的奇函数,其傅里叶,级数为正弦级数，即傅里叶系数为,周期为,的偶函数,其傅里叶级数为,余弦级数，即傅里叶系数为,.,例3将周期函数,展开成傅里叶,级数，其中,为正常数,解不妨将,看成是,为周期的函数，,满足,收敛定理，先计算傅里叶系数,.,从而函数,的傅里叶级数是一个余弦级数,.,二、区间上的函数的傅里叶级数,将一个定义在上的函数,进行拓展,这样构造的函数,在,上是一个奇,函数，按这种方式拓展函数定义域的过程,称为奇延拓。,.,同理，构造函数为,按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓,例4将函数,分别展开成,正弦级数和余弦级数,解先展开成正弦级数,对函数,作奇延拓，,再作周期延拓，满足收敛定理的条件,按公式计算傅里叶系数,.,从而可得正弦级数,.,其中在端点,处，级数的和为0,再把函数展开成余弦级数,对函数,作奇,延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件,按公式计算傅里叶系数,.,从而可得余弦级数,.,10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数,定理3设周期为,的周期函数,满足收敛,定理条件，则它的傅里叶级数当,是,的连,续点时，有,其中,.,例5设,是周期为4的周期函数它在,上的表达式为,将,展开成傅里叶级数，其中,为非零,常数,解这里,.,于是,且在点,处,的傅里叶级数,收敛于,.,例6将函数,展开成,（1）正弦级数；（2）余弦级数,解（1）将,先作奇延拓，再作周期,延拓，计算傅里叶系数得,.,从而可得正弦级数,（2）将,先作偶延拓，再作周期延拓，,计算傅里叶系数得,.,从而可得余弦级数,.,10.5.6小结,1.