流体力学教学资料课件

第五章可压缩流体的一元流动,第一节可压缩气体一元定常流的基本公式,当气体流动的速度或者物体在气体中的运动速度接近或者超过声速时，流动的物理特征会有本质性的改变，而气体的压缩性质则在其中起着关键性的作用。在这种情况下研究气体的流动就必须考虑其压缩性的影响，采用可压缩流体的模型。,在可压缩气体运动时，其压强、温度和密度等参数同时发生变化，流体宏观运动的机械能与反映流体分子热运动水平的内能相互转换，但是其总能量却保持守恒，因此，可压缩气体的运动还遵循能量守恒（热力学第一）定律。,1状态方程,完全气体近似对于工程中常见的低密度或中等密度气体是有效的，空气通常可以被当成完全气体。,R-气体常数,对于空气,2连续性方程,对于一元定常流动,积分形式的连续性方程为uA=C,3运动方程,质量力与流体的密度成正比。由于气体的密度很小，所以在一般的气体动力学问题中都可以不考虑质量力的影响,对于一元定常流动,理想流体的运动方程为：,4热力学常数,单位质量气体的温度升高1K所需的热量称为比热容。如果假设气体体积不变，在加热过程中仅压强发生变化，此时的比热容称为等容比热容，记为Cv，其表达式为：,式中q为热量。下标“v”表示加热过程中体积为常数。,如果假设压强不变，加热过程中仅体积发生变化，此时的比热容称为等压比热容，记为Cp，表达式为：,下标“p”表示加热过程中压强为常数。,对于完全气体，Cv和Cp都是常数，两者之比称为比热容比或者绝热指数。,5热力学第一定律,热力学第一定律也是能量守恒定律。该定律指出，当热能与其他形式的能量进行转换时，能量的总量保持恒定。对于平衡态的热力学系统（特定质点组成的气体团），能量守恒关系可以被表示为：,加入系统的热能=系统内能的增加+系统对外界所作的功,式中q是单位质量气体所获得的热能，e为单位质量气体的内能，1/是单位质量气体的体积，pd(1/)是单位质量流体在变形过程中对外界所作的功。,内能e可被表示为：,定义单位质量气体的焓h为内能e与压强势能p/之和:,焓的值描述了气体做功的能力。利用状态方程以及内能的表达式，不难得到:,由热力学第一定律:,在绝热流动的条件下q=0，上式积分得到能量方程的表达式:,这就是一元定常绝热流动的能量方程，它的物理意义是：在绝热流动中，单位质量气体的压强势能、内能和动能之和保持不变。这个结论对于有粘性摩擦和无粘性摩擦的绝热流动都是正确的。,应用表达式:,并引用状态方程，还可以把能量方程表示为:,例贮气罐内的空气温度为T0=27。罐内空气经一管道绝热地流出到温度为T=17的大气中，求管道出口的气流速度u。,解:,流动是绝热的，其参数变化满足绝热能量方程。罐内气体速度近似为零，因此对于管道的出口截面和进口截面，能量表示为：,其中T0=273+27=300K是罐内气体的温度，T=273+17=290K是出口温度。,对于空气,6等熵关系式,定义单位质量气体的熵S的增量为：,q不是状态的函数，它与热力学过程有关，因此q不是全微分。绝热过程的熵变化不能简单地由q/T直接积分给出结果。,熵值不发生变化的热力学过程称为等熵过程,绝热，无摩擦气体流动是等熵过程,利用状态方程，等熵关系式可以得到气体等熵流动状态1-2的关系,等熵关系式,得到：,还可以得到：,气体在绝热的可逆过程中不发生熵的变化。例如，当管壁与管内气体之间通过热传导传递的热量不足以对流动造成显著影响时，可以认为流动是绝热的；又当气体的粘性效应可以忽略，没有运动机械能转换为热能，则流动过程又是可逆的。同时满足绝热和可逆两个条件的流动就是等熵流动。,气体等熵流动状态1-2的关系,求得,例：已知,例：大容器出流，求出口速度，压强，密度,已知：,求：出口速度，压强，密度,能量方程,部分热能转化为机械能,等熵气流公式,例：在物体上游某处，已知,求：驻点的压强，温度，密度,等熵流动,能量方程,动能转化为热能和压强能,第二节微弱扰动波的传播声速,分析小扰动在可压缩流体中的传播，并引进两个在可压缩流体流动问题中非常重要的物理参数：声速和马赫数。,1声波及声速,声音实际上是发声器的振动在空气中所引起的微弱扰动，声音的传播就是微弱扰动以波的形式在空气中的传播。,声(音)波-微弱的压力(密度)扰动波。,声(音)速-声(音)波在流体中的传播速度。,声速是微弱压力(密度)扰动波的传播速度，不是流体质点本身的运动速度。,在静止流体中，扰动波向各个方向的传播速度相同，从而形成圆球形的波面。,假设在无限长的等截面管道中充满静止的可压缩气体，其压强、密度和温度分别为p、T。管右端有一个活塞，此活塞突然以一个微小速度u向左运动。,连续性方程,动量守恒方程,略去小量,比较两式得到,略去小量后,当流体压缩性小时，声速大；当流体压缩性大时，声速小，所以声速的大小也直接反映了流体的可压缩程度。如果流体是不可压缩的，则，此时声速趋向于无穷大。这说明，在研究声波的传播时是不能忽略流体压缩性的。,牛顿(1687)年认为声音在空气中传播是等温过程，所得到的计算值比自己的实测值小17%左右。,拉普拉斯1816年提出声音的传播是等熵过程，从而导出了正确的声速计算公式。,在等熵条件下,例如，在10C的空气中，声速为337m/s；在30C的空气中，声速为349m/s。,对于空气，,能量方程还可以用音速表示为,能量方程,气体质点的速度u与当地声速c的比值为马赫数，记为Ma,2声波及声速,音速是小扰动在气流中的传播速度c与气流的实际速度u不同。,“马赫数”为纪念奥地利物理学家马赫(E.Mach)而命名，它是一个无量纲的参数。它的值是判断压缩性对流动影响大小的重要指标，因此它在气体动力学中是一个非常重要参数。根据马赫数的大小,可压缩流动可以被分为三种类型:,亚音速流动,跨音速流动,超音速流动,点扰动产生的扰动波在无界静止的可压缩流体中传播时，其波面是球面。可以分四种情况讨论以速度u行进的点扰动源的影响区域。,u=0，扰动源不动。这时，点扰动所发出的扰动波的波面是一族同心的球面，扰动可以传遍整个流场空间。,图中的圆点分别表示四个不同时刻（间隔时间t）扰动源到达的位置，扰动源在每一个位置都会发出一个球面波。以前各个时刻发出的球面波半径分别为3ct、2ct、ct。,扰动源一边运动，一边发生压强小扰动，如飞机，汽车。,uc，扰动源以超声速向右移动。此时受扰区限制在一个圆锥面内，扰动波只在此圆锥内传播，这个圆锥也称为马赫锥。,马赫锥的顶点就是扰动源的位置，它的母线称为马赫线或马赫波，它的半顶角又称为马赫角。,马赫角：,马赫锥外面的气体不受扰动的影响，故马赫锥外部区域称为寂静区。,亚声速流和超声速流的基本差别之一是，在亚声速流动中，微弱扰动可以传遍整个流场空间，而在超声速流动中，扰动只能在马赫锥内部传播。,例子弹在15C的大气中飞行，已测得其头部马赫角为40，求子弹的飞行速度。,解,对于定常一维流动，运动方程可以写为,在等熵流动中，气流速度的相对变化所引起的密度相对变化量与Ma2成正比。,当马赫数很小时，速度的相对变化只能引起很小的密度相对变化，当马赫数很大时，则会引起很大的密度相对变化。,气流的压缩性与马赫数的大小密切相联。,第三节一元等熵流动的基本关系,可压缩气体作一元等熵流动时，其能量方程描述了气流速度u与温度T之间的关系，当速度变大，温度则会随之变小。压强p和密度也会随速度发生改变。能量方程可以用某一个参考状态的函数值表示。一般选取滞止状态、临界状态和最大速度状态作为参考状态,1滞止状态,滞止状态是流体速度为零的热力学状态。滞止状态的参数值用下标“0”表示，如滞止压强、滞止密度、滞止温度和滞止声速分别被表示为p0、0、T0和c0。,能量方程,由于cpT0就是总能量，所以T0也称为总温。,滞止状态与一般状态的关系,对于等熵流动,绝热流动的总温不变，滞止压强与滞止密度之比不变，但是滞止压强和滞止密度是可以同时变化的。只有在等熵流动中，滞止压强和滞止密度才保持不变。,低速气流,近似不可压缩气体,可压缩气体,气体的压缩性与气流速度有关，速度越大，越容易压缩,马赫数不但表示气流速度大小，还表示气流的压缩性,例一维等熵空气气流某点流动参数为：u=150m/s，T=288K,p=1.3105Pa，求此气流的滞止参数p0、0、T0和c0。,解空气，所以,2临界状态,当气流速度u等于当地声速c，即Ma=1时，气流处于临界状态。临界状态下的参数又称为临界参数，以下标“*”号表示，如临界压强、临界密度、临界温度和临界声速分别被表示为p*、*、T*、u*和c*。,能量方程,临界状态与滞止状态的关系,绝热指数是个常数，临界参数与相应的滞止参数之间有确定的比值，所以流体的总能量不仅可以用滞止参数表示也可以用临界参数表示。,定义流体流动速度与临界声速之比为速度系数，记为。,或者,或者,对于亚声速流动：，；对于声速流动：，；对于超声速流动：，。,当Ma，,例空气在管道中作绝热无摩擦流动，已知某截面上流动参数为T=333K，p=207kPa，u=152m/s，求临界参数T*、p*、*。,解绝热无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数，再求T*、p*、*。,对于空气，。,3最大速度状态,最大速度状态是温度降至绝对零度，气流速度达到最大值时一种极限状态。最大速度记为umax。当气流达到这一极限状态时，气体的焓全部转化为动能。,能量方程,不考虑质量力，伯努利方程为,现在考虑流体的压缩性，分析不同马赫数情况下它的误差。,伯努利方程,是在忽略压缩性的前提下推导的。,忽略流体压缩性则相当于忽略括号中-部分。,当Ma0.2，采用不可压缩伯努利方程计算压强所产生的相对误差小于约1%。,例当Ma=0.2,马赫数确实可以被作为判断气体压缩性大小的指标，对于Map*时，pe=pb，出口截面上的流速小于音速；,当pbp*/p0，出口截面流动还未达到临界状态，所以流体压强等于背压，即pe=pb。,容器内气体密度,出口截面流体速度为,当pb=100kPa，pb/p0=0.5lm，在入口产生壅塞；,超音速流动：当llm，在入口外产生激波，并在激波后变为亚音速，进入管后为亚音速，在出口达到音速。,等截面绝热有摩擦管流任意两个截面