电路PPT课件第6章分解法及单口网络

第六章一阶电路,6-1分解方法在动态电路分析中的运用,6-2零输入响应,6-4零状态响应,6-3阶跃响应冲激响应,6-5线性动态电路的叠加原理,6-6分解和叠加方法的综合应用三要素法,6-7瞬态和稳态,6-8正弦激励的过渡过程和稳态,动态元件的VCR为微分或积分形式，故线性、时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。,本章内容概述,含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。,本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态分析。分别介绍换路定律、零输入响应、零状态响应和全响应，并推导出一阶电路在直流激励下求解任一变量响应的一般方法三要素法。,本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。,(1)把给定的网络N分解为两个明确的单口网络N1和N2(P114)；(2)分别求单口网络N1、N2的VCR(4-2)；(3)联立VCR，求单口网络端钮上的电压u=a和电流i=b；(4)应用置换定理，分别求单口网络N1、N2中的电压和电流。,分解法的基本步骤,6-1分解方法在动态电路分析中的运用,6-1分解方法在动态电路分析中的运用,6-1分解方法在动态电路分析中的运用,ROic+uC=uOC,iC+iGO=iSC,戴维南等效电路,诺顿等效电路,一阶微分方程求解,非齐次常系数线性微分方程,齐次常系数线性微分方程,求解,1.直接积分法,一阶微分方程的求解,，且应满足初始条件Y(t0)=Y0，,（1）解的结构：Y(t)=Yh(t)+Yp(t),2.猜试法,有两种解法：,（2）Yh(t)：对应的齐次方程的通解,（3）Yp(t)：非齐次方程的一个特解一般与输入（激励）函数具有相同形式,（4）根据初始条件，确定积分常数,稳定状态:指电路中的电压和电流在给定的条件下已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳定值）。稳定状态简称稳态。,瞬态（暂态）:电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的，这个物理过程就称为过渡过程。电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态（瞬态），因而过渡过程又称为暂态过程。,过渡过程的基本概念,换路:指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数改变等。,产生过渡过程的原因：当电路中有储能元件电容或电感，而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。,本章将要分析RC和RL一阶线性电路的过渡过程，着重讨论下面两个问题：,(1)暂态过程中电压和电流(响应)随时间的变化规律;,(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。,设t=0为换路瞬间，而以t=0表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。,换路定律,由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流是不可能突变的。因此，电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值，这一规律，称为电路的换路定律。,iL(0)=iL(0+),uC(0)=uC(0+),6-2零输入响应,以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应。,设电路中电容电压在t0时的值为uC(t0)。将其分解为一个未充电的电容C和一个数值为uC(t0)的电压源的串联。,+,零输入响应,零状态响应,最终得,代入初始条件uC(0)=U0，,t0,uC(t)的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。,利用直接积分法：,故有,积分得,一阶线性常系数齐次微分方程,（一）RC电路的零输入响应,R,C,uR,t=0,b,a,+-,U0,i,S,uC,零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所产生的响应。分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。,上图中，若原来开关S合于a，电容上电压已充电到U0，在t=0时将S由a合向b，即uC(0)=U0，,根据KVLRi+uC=0,6-2零输入响应,+,+,上式的通解为指数函数，即,由特征方程RCp+1=0得,特征根（固有频率）p=1/RC,通解uC=Aet/RC,确定积分常数A，由换路定律,uC(0+)=uC(0)=U0,，得A=U0,所以uC=U0et/RC,uR=uC=U0et/RC,U0,U0,变化曲线,在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。,=RC称为RC电路的时间常数,时间常数,时间常数=RC,从理论上讲，电路只有在t时才能衰减到零。但在工程上，通常认为t(45)时，电容放电过程基本结束。,时间常数越大，衰减越慢；时间常数越小，衰减越快。,O,t,U0,uC(t),0.368U0,321,电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数,时间常数越大，uC衰减(电容器放电)越慢。,uR=uC=U0et/RC,例1电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t0。,解：uC(0)=15V,=ROC=50.01=0.05S,=15e-20tVt0,求ic(t)和i(t)，解法1：,例1电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t),ic(t)和i(t),t0。,解法2：应用置换定理,用电压源uC(t)置换电容C,例2求图示电路中i(t),t0,已知uC(0)=6V。,解:提出电容，用外加电压法求RO,8000i1=4u,=ROC=2103s,uC(0)=6V,t0,例3下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，t=0时开关S由a点合向b点，试求:t0时uc、i1、i2和i3随时间的变化规律,画出变化曲线。,C,t=0,b,a,+-,S,uC,4,2,4,8,10F,+-,10V,i1,i2,i3,解:uC(0+)=uC(0-)=104/(2+4+4)=4V,U0=4V,换路后放电电路等效电阻R0=(8+4/4)=10,=R0C=1010106F=104s,=4e10000tV,i1=i3=i2/2,=0.4e10000tA,=0.2e10000tA,uC=4e10000tV,（二）RL电路的零输入响应,R,t=0,b,a,U,iL,S,uL,uR,S合在位置a时,电感中通有电流,t=0时,开关S由位置a合向位置b,RL电路被短路。若iL(0-)=I0，则iL(0+)=I0,(若换路前电路已处于稳态,则I0=U/R),根据KVLuL+uR=0,+-,齐次常系数线性微分方程,通解为iL=Aept,+-,+-,特征方程是Lp+R=0,特征根(固有频率):p=R/L,微分方程的通解为,iL(0+)=I0,故A=I0,在t=0+时,时间常数=L/R=GL,通解为iL=Aept,R,t=0,b,a,U,iL,S,uL,uR,+-,+-,+-,iL,根据KVLuL+uR=0,t=0,S,R,L,uV,iL,+,2,4V,例4已知电压表的内阻RV=1000,求uV(0+)。,解:,iL(0+)=iL(0-)=4/2=2A,uV(0+)=iL(0+)RV=21000=2000V,因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将电压表取下!以免引起过电压而损坏电压表。,一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，又称为固有响应，特征根s=1/又称为固有频率。,一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间常数决定，越小，衰减越快。,求出uC(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为uC(t)的电压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后的电路中求其他电压电流。,线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数，即初始状态增大k倍，零输入响应也增大k倍。,零输入响应小结,1.一阶电路的零输入响应,6-3阶跃响应,一.阶跃函数,.单位阶跃函数,2.延时单位阶跃函数,二.用单位阶跃函数表示电源的接入,6-3阶跃响应,三.阶跃信号、阶跃响应,1.阶跃信号,2.阶跃响应,单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用(t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。,uS(t)=US(t)阶跃信号,uS(t)=US(t-t0)延时信号,四.分段常量信号作用下一阶电路的求解,f(t)=f1(t)+f2(t)=(t)-(t-1),f(t)=(t)-2(t-1)+3(t-2)-2(t-3),（一）RC电路的零状态响应,零状态响应是指换路前电容元件未储有能量,uC(0)=0,由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。,下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一个阶跃电压u，其表示式为,u=,0t0,6-4零状态响应,根据KVL，列出t0时电路的一阶线性非齐次常微分方程,Ri+uC=U,设特解uC=K代入上式,得K=U，即uC=U,uC=Aept=Aet/RC,式(6.1)的通解为,uC=uC+uC=U+Aet/RC,上式的通解有两个部分：一个是特解uC，一个是补函数uC,(6.1),uC=uC+uC=U+Aet/RC,根据uC(0+)=uC(0)=0，可确定积分常数A=U,uC=UUet/RC=U(1et/),时间常数=RC,当t=时，uC=63.2%U,暂态过程中uC可视为由两个分量相加而得:,uC是到达稳定状态时的电压,称为稳态分量;uC仅存于暂态过程中,称为暂态分量,它总是按指数规律衰减。,uC的变化曲线,o,t,U,u,i,uC=U(1et/),uC、uR及i的变化曲线,uC=U(1et/),同样可认为t(45)以后暂态过程已经结束。,上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维南等效电源，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。,例7.8下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，C1=40F，C2=C3=20F，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求:t0时的电压uC。,解：C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为,将t0的电路除C以外的部分化为戴维南等效电源,等效电源的内阻为,等效电源的电动势为,由等效电路可得出电路的时间常数,=R0C=210320106=40103s,uC=E(1e-t/),=8(1e25t)V,输出电压为,（二）RL电路的零状态响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,在换路前电感元件未储有能量，即电路处于零稳态。,+,在t=0时，将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通。,根据KVLuL+uR=U,特解iL就是稳态分量,(7.2),式(7.2)的通解为,在t=0时，iL(0+)=iL(0-)=0,4.一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大k倍，零状态响应也扩大k倍，如有多个电压源作用，也可用叠加定理来求零状态响应。,2.uC(t)、iL(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，越小，上升越快。,3.求出uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为uC(t)的电压源置换，电感用电流值为iL(t)的电流源置换，在置换后的电路中求其它电压和电流。,5.如果是非直流激励电路，则需列微分方程求解。,1.恒定输入（直流激励）下一阶电路的零状态响应,零状态响应小结,例5下图所示电路中,已知：R1=R2=1k，L1=15mH，L2=L3=10mH，(设线圈间无互感,)电流源I=10mA,开关S闭合前,各电感均未储有能量,试求:t0时的电流i。,t=0,S,i,I,R1,R2,L1,L2,L3,解:等效电感,=10mH,将电流源与R1并联的电路进行等效变换,E=R1I=10V,R0=R1=1k,由等效电路可得出电路的时间常数,=10s,等效电路,（一）RC电路的全响应,全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。,下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则uC(0)=U0，t=0时将S由b合向a，t0时电路的微分方程为,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+-,U0,其通解有两个部分:一个是特解uC，一个是补函数uC,通解uC=uC+uC,6-5线性动态电路的叠加定理,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+-,U0,通解uC=uC+uC=U+Aet/RC,uC(0+)=uC(0)=U0,积分常数A=U0U,全响应=稳态分量+暂态分量,uC=U0e-t/+U(1e-t/),或者写成,全响应=零输入响应+零状态响应,一阶线性非齐次常微分方程,(三要素法),全响应曲线,o,t,U,u,U0,设UU0,o,t,U,u,U0,uC=U0e-t/+U(1e-t/),或,全响应曲线,o,t,U,u,U0,设UU0,uR=(UU0)e-t/,uR,这种由外加激励和初始储能共同作用引起的响应,称为RC电路的全响应。,放电过程,充电过程,若U=0，在t=0时将开关S由1合到2的位置，如右图。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初始储能引起的，故称为RC电路的零输入响应。,电容两端的电压uc由初始值U0向稳态值零衰减，这是电容的放电过程，其随时间变化表达式为,全响应,若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)=U0=0，则上式变为,这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应，常称为RC电路的零状态响应，这是电容的充电过程。,全响应,t,时间常数=RC,当t=时，uC=63.2%U,随时间变化曲线,零状态响应,（二）RL电路的全响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,+,R0,如图所示电路中，iL(0-)=I0在t=0时，将开关S合上，则t0时电路的微分方程为,通解也为,但积分常数A与零状态时不同,在t=0时，iL(0+)=iL(0-)=I0，,所以全响应为,(6.5.3),全响应=稳态分量+暂态分量,全响应=零输入响应+零状态响应,上式可改写为,o,t,U/R,I0,式(6.5.3)中,将电感电流的稳态分量U/R用iL()表示得,iL(t)=iL()+iL(0+)iL()e-t/,稳态值初始值时间常数,(三要素法),只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路，称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。,对于一阶线性电路，在直流激励作用下，电路的响应是由稳态分量(包括零值)和暂态分量两部分相加而得，写成一般式子，则为,f(t)=f(t)+f(t)=f()+Aet/,式中f(t)是电压或电流，f()是稳态分量(即稳态值),Aet/是暂态分量,若f(0+)为初始值,则得A=f(0+)f(),于是,f(t)=f()+f(0+)f()e-t/,稳态值初始值时间常数,6-6分解方法和叠加方法的综合运用三要素法,三要素法,直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无非四种情况。,对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出这三个要素，就可画出它的波形并写出表示式，这就是三要素法。,三个参数（三要素）f(0+)、f()、,f(t)=f(0+)+f()-f(0+)(1-e,)t0,一.求初始值f(0+),1.先求uC(0-)、iL(0-),2.做t=0+时等效电路C用电压值等于uC(0+)的电压源置换L用电流值等于iL(0+)的电流源置换,二.求稳态值f(),3.在t=0+的等效电路中求各初始值,在t=的电路中求f()C开路L短路,三.求时间常数,求动态元件两端看进去戴维南等效电阻：RC电路：=ROCRL电路：=L/RO,三要素法,例6在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1kR2=2k，C=3F，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t0时的u