薛宏熙《数字逻辑设计》cha课件

2008.11,1,第4章数的表示方法和算术运算电路,【课前思考】【学习指南】4.1数制和编码4.2无符号数的加法运算4.3有符号数的表示方法和算术运算4.4用EDA工具设计算术运算电路示例【本章小结】,2008.11,2,4.1数制和编码,日常生活中最常见的数据表示形式是十进制数，与此同时也存在大量的其它数制。例如12英寸为1英尺是十二进制；60秒为1分钟是六十进制；24小时为1天是二十四进制。数字电路只可能有2个稳定状态（H/L），因此数字系统内部采用二进制数也合乎逻辑。把数据转换为一组代码（这里特指二进制代码）称为编码。,2008.11,3,数的位置表示法,十进制数2758.12可以表示为：(2758.12)10=2103+7102+5101+8100+110-1+210-2十进制数的一般形式：（D）10=dn-1dn-2did1d0.d-1d-m可以表示为：式（4-1）中:下标i代表数字di的位置，pi是十进制数第i位数字的权。十进制数中每一位di有10种可能的取值，并且其权重为10的幂，故称其为以10为基的数。,2008.11,4,数的位置表示法（续）,二进制数的一般形式：式（4-2）中:下标i代表数字bi的位置，pi是二进制数第i位数字的权。二进制数中每一位bi有2种可能的取值，并且其权重为2的幂，故称其为以2为基的数。,2008.11,5,数的位置表示法（续）,r进制数的一般形式：式（4-3）中:下标i代表数字si的位置，pi是r进制数第i位数字的权。r进制数中每一位si有r种可能的取值，并且其权重为r的幂，故称其为以r为基的数。,2008.11,6,数的位置表示法（续）,r进制数第i位数字si的权值为pi，属于有权编码。（与此相对的是无权编码）数字系统中常用的数制:提醒：二进制数中某一位bi的单位为比特（bit），比特的取值可为0或1，这里的0或1具有数值的意义。第1章中谈及布尔函数和布尔变量时，布尔变量的取值也可用0或1表示，但那时0的含义是假，1的含义是真。,2008.11,7,二进制数与十进制数的相互转换,二进制数转换为十进制数：式（4-2）是二进制数与十进制数相互转换的数学基础例：,2008.11,8,二进制数与十进制数的相互转换（续）,十进制数转换为二进制数：通常把整数部分与小数部分分别处理整数部分：（1）将十进制整数除以2，所得余数即为对应二进制数最低位的值；（2）将上次所得商再除以2，所得余数即为对应二进制数次低位的值；（3）重复执行第（2）步的操作，直到商为0时为止。余数构成二进制数每一位的值。,例：,（45）10=（101101）2,2008.11,9,二进制数与十进制数的相互转换（续）,十进制数转换为二进制数：整数部分转换简略的形式：,例：（45）10=（101101）2,2008.11,10,二进制数与十进制数的相互转换（续）,十进制数转换为二进制数（续）：小数部分：（1）将十进制小数乘以2，所得乘积的整数部分（0或1）即为对应二进制小数最高位的值；（2）将上次所得乘积的小数部分再乘以2，所得乘积的整数部分即为对应二进制小数次高位的值；（3）重复执行第（2）步的操作，直到乘积的小数部分为0或所得小数部分已满足精度要求时为止。,例：,(0.6875)10=(0.1011)2,2008.11,11,二进制数与八进制数的相互转换,八进制数的二进制编码：3位二进制数对应于1位八进制数,2008.11,12,二进制数与八进制数的相互转换（续）,二进制数转换为八进制数：3位二进制数对应于1位八进制数，转换算法非常简单：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右每3位看作一组。注意，遇到不足3位时将其补足3位，向左扩展时向高位补0，向右扩展时向低位补0。（2）把每一组的二进制码替换为对应的八进制码。例：,2008.11,13,二进制数与八进制数的相互转换（续）,八进制数转换为二进制数：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一八进制码进行转换。（2）把每一八进制码替换为对应的二进制码。注意，转换后的二进制码必须是3位，例如28应转换为0102，而不是102。例：,2008.11,14,二进制数与十六进制数的相互转换,十六进制数的二进制编码：4位二进制数对应于1位十六进制数,2008.11,15,二进制数与十六进制数的相互转换（续）,二进制数转换为十六进制数：4位二进制数对应于1位十六进制数，转换算法非常简单：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右每4位看作一组。注意：遇到不足4位时将其补足4位，向左扩展时向高位补0，向右扩展时向低位补0。（2）把每一组的二进制码替换为对应的十六进制码。例：,2008.11,16,二进制数与十六进制数的相互转换（续）,十六进制数转换为二进制数：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一十六进制码进行转换。（2）把每一十六进制码替换为对应的二进制码。注意，转换后的二进制码必须是4位，例如316应转换为00112，而不是112。例：,2008.11,17,十进制数的二进制编码,用二进制代码表示十进制数称为二十进制码或BCD码（BinaryCodedDecimal，BCD）。4位二进制代码可以代表24=16种状态，而十进制数只需要10种状态，因此需要舍弃其中6种状态不用。8421码：8421分别代表各位的权值。最高位的权值为8、次高位为4、再次为2、最低位为1。,2008.11,18,十进制数的二进制编码（续）,余3码：是一种无权码。,2008.11,19,十进制数的二进制编码（续）,十进制数的有权编码示例：,2008.11,20,格雷码,格雷码是一种无权码，其特点为任何2个相邻的代码之间只在某1位上取值不同。此特点在某些场合特别有用，可以减少代码变换过程中发生错误的机会，是一种高可靠性编码。右图为二进制数反射格雷码。反射码和二进制数之间的对应关系：,2008.11,21,格雷码（续）,十进制数反射格雷码示例：,2008.11,22,字符编码,数字系统中，0和1不仅可以代表数字，而且可以进行组合用于表示字母、运算符以及控制符等。为了在各种数字系统之间方便地交换信息，必须使用统一的编码方案，目前被广泛使用的是ASCII码。（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）ASCII码由7位二进制代码组成，共27=128个字符：英文字母：大写、小写字母各26个，共52个；数字（09）：10个；专用符号：34个；控制符号：32个。,2008.11,23,字符编码ASCII码,2008.11,24,奇偶校验码,奇偶校验编码的规则：奇校验编码：编码结果中含奇数个1。偶校验编码：编码结果中含偶数个1。例：,2008.11,25,奇偶校验码（续）,奇偶校验码是一种最简单的、能发现某些错误的编码。应用举例：信息发送/接收过程中采用偶校验检错：,2008.11,26,奇偶校验码（续）,以偶校验编码为例，说明数据编码、传送及检错的过程：发送方给原始数据b6b5b4b3b2b1b0增加1个偶校验位b7，构成8位的偶校验编码。b7=b6b5b4b3b2b1b0（4-5）发送方把8位的偶校验编码b7b6b5b4b3b2b1b0发送出去。接收方收到8位的偶校验编码b7b6b5b4b3b2b1b0。接收方校验电路的输出信号为check，用来检查8位数据中取值为1的个数是否为偶数：check=b7b6b5b4b3b2b1b0（4-6）若为偶数（check=0），表明数据传送过程中没有发生错误，简单地将偶校验位去掉即得原始数据；若为奇数（check=1），表明数据传送过程中发生错误，接收方发出报警信号。,2008.11,27,奇偶校验码（续）,偶校验的形成及校验电路：根据式（4-5）可以得到发送方的偶校验位（b7）形成电路；根据式（4-6）可以得到接收方的偶校验（check）电路,2008.11,28,4.2无符号数的加法运算,无符号数代表数的绝对值，或者是省略了符号的正数。1位全加器的实现：,2008.11,29,4位行波进位加法器,优点：结构简单、造价较低；缺点：进位信号由低位向高位逐级传递，当加法器的长度n较大时（例如32或64），进位信号的传播延时很大。改进思路：先行进位加法器进位链。,2008.11,30,加法器的先行进位进位链,2008.11,31,加法器的先行进位进位链（续）,实例：4位加法器中每一位（i=03）的进位信号分析：,2008.11,32,4位加法器的先行进位进位链（续）,根据布尔表达式（4-8）、（4-9）、（4-10）和（4-11）画出先行进位链的原理图。,2008.11,33,4位加法器的先行进位进位链（续）,符号图：分析：低位进位信号c0到达进位链输出端（c4，c3，c2，c1）所经历的传播路径长度大体相同，因而延迟时间也大体相同。对于处于相对高位的c4来说，其延迟时间缩小！随着i的增大，ci的布尔表达式复杂度增大，相应电路的复杂度也增大，因此这种把ci逐级展开的方法不可能无限制地继续下去。当加法器的长度n较大时，可将其分组，组与组之间可以采用行波进位的方法，或在组间也采用先行进位的方法。,2008.11,34,4位先行进位加法器,2008.11,35,BCD码形式的十进制数加法运算,例：1位8421码十进制数加法器手工设计：有多种方法可供选择，例如列出真值表，写出相应的布尔表达式，最后导出电路图。（由于输入变量个数多达9个，此设计过程可能比较繁琐）借助普通的二进制数加法器，再加上辅助的修正电路构成目标电路。,2008.11,36,例：1位8421码十进制数加法器,图4.9初步设想：,2008.11,37,例：1位8421码十进制数加法器（续）,校正条件分析：输入变量X和Y的取值为（09），再加上可能存在的低位进位cin，因而加法运算结果的取值范围为（019）。由于普通的4位二进制数加法器是逢16进位，而十进制数加法器是逢10进位，因而需要对4_adder_1的输出（Z和c）进行修正，修正的具体要求见表4.11（见下页）。仔细分析表4.11可以得出校正的判别条件和应采取的校正措施：,2008.11,38,例：1位8421码十进制数加法器（续）,表4.11,2008.11,39,图4.9的改进,图4.9中的多路器可以省略，改进后的方案示于图4.10。,2008.11,40,图4.10的改进,图4.10中起校正作用的二进制数加法器4_adder_2只是实现加6（即二进制代码0110）或加0的运算，其长度可以缩短，改进后的方案示于图4.11。,2008.11,41,一个3位十进制数加法器的实例,2008.11,42,启示,想通过手工设计得到一个理想的结果，十分不易。精心设计和一般练习的效果大不相同。通过EDA工具设计数字电路省时省力。EDA工具提供的库元件一般都是精心制作的佳品。,2008.11,43,4.3有符号数的表示方法和算术运算,有符号定点数的编码方法：定点数：小数点的位置固定，常用的2种形式是：小数点放在最低位之后，这种形式表示的是整数。小数点放在最高位之前，这种形式表示的小数。从数学的观点出发，这2种形式没有本质的差别，仅仅相差一个比例系数。以下叙述中把小数点放在最低位之后，符号位放在最高位之前。,2008.11,44,二进制定点数的原码表示形式,小数点的位置只是一种约定，并不需要专门的硬件作标记。,2008.11,45,二进制定点数的原码表示形式（续）,原码加法流程图：,2008.11,46,二进制定点数的补码表示形式,设二进制定点数X的表示形式为：X=0 xn-2xn-3xix0（字长n位，最高位为0）由X求X补的规则：当X为正数时，X补=X=0 xn-2xn-3xix0当X为负数时，（按位求反后末位加1）由以上规则求出的X补的最高位为符号位：符号位为0代表正数；符号位为1代表负数。,2008.11,47,二进制定点数的补码表示形式（续）,由X求X补举例：【例4.1】：X=+01101，求X补：X为正数，X补=X=01101【例4.2】：X=01101，求X补：X为负数，第1步：对X按位求反：0110110010第2步：末位加1：1001010011,2008.11,48,二进制定点数的补码表示形式（续）,由X补求X的规则：X补的符号位为0（正数）时，X补=X（二者相同）X补的符号位为1（负数）时，求X分2步走：第1步：包括符号位在内按位求反；第2步：在第1步的结果上末位加1，再在数值前添加负号。【例4.3】：X补=10011，求X：第1步：包括符号位在内按位求反：1001101100第2步：末位加1，再添负号：0110001101,2008.11,49,补码的加法运算,补码加法运算规则：,补码加法中的“溢出”问题：【例】：X=01011，Y=01000X补=01011，Y补=01000执行补码加法：X+Y补=01011+01000=10011结果不正确，因为2个正数相加的结果绝不应该是负数！分析原因：本例字长5位，而本例的(X+Y)超过了字长所能表示的范围。,2008.11,50,补码加法运算（续）,发现“溢出”的方法（方法之一）：把操作数X补和Y补的符号位向左扩展1位，并且新扩展的符号位与原来的符号位取值相同。即X补和Y补的字长由原来的n位扩展到（n+1）位。补码加法运算规则不变，即补码中各位（包括2个符号位在内）按照同样规则参加运算。若运算结果的2个符号位取值不同，表示运算结果“溢出”（应当发出报警信号）；否则运算结果正常。,2008.11,51,补码加法运算（续）,补码加法示例：,2008.11,52,补码加法运算（续）,补码加法示例：,2008.11,53,补码加法运算（续）,补码加法示例：,2008.11,54,补码加法运算（续）,一个补码加法器的实例：,2008.11,55,补码的减法运算,补码减法运算规则：,为了发现运算过程中是否发生“溢出”，继续采用双符号位的补码形式。表示对Y补执行求补操作，即第1步：包括符号位在内按位求反；第2步：末位加1。,2008.11,56,一个补码加法/减法器的实例,由于补码加法与补码减法的流程相差甚少，唯一的差别是补码减法操作中需要对Y补多作一次求补操作。,2008.11,57,一个补码加法/减法器的实例,由于补码加法与补码减法的流程相差甚少，唯一的差别是补码减法操作中需要对Y补多作一次求补操作。广泛应用！,2008.11,58,二进制定点数的反码表示形式,由X求X反的规则：X为正数时，X反=X=0 xn-2xn-3xix0X为负数时，由以上规则求出的X反的最高位为符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。【例4.8】：X=+01101，求X反：X为正数，X反=X=01101【例4.9】：X=01101，求X反：X为负数，X反=10010（按位求反）,2008.11,59,二进制定点数的反码表示形式,由X反求X的规则：X反的符号位为0（正数）时，X反=X（二者相同）X反的符号位为1（负数）时，将X反按位求反，再在数值前面添加负号“”。【例4.10】：X反=10011，求X：第1步：包括符号位在内按位求反：1001101100第2步：在数值前面添加负号：0110001100,2008.11,60,反码的加法运算,为便于判断“溢出”，也采用双符号位。,2008.11,61,反码加法示例,设X=(5)10=(0101)2，Y=(6)10=(0110)2，求X+Y反双符号位X反=111010，Y反=111001,2008.11,62,反码的减法运算,2008.11,63,反码减法运算示例,设X=(5)10=(0101)2，Y=(6)10=(0110)2，求XY反双符号位表示，X反=111010，Y反=111001，：手工计算的准备工作：Y反|反=000110；,2008.11,64,4.4用EDA工具设计算术运算电路示例,补码形式的加法/减法器：输入信号：x(3.0)和y(3.0)是补码形式的有符号二进制数（1个符号位）,sub_add是加法/减法的控制信号。输出信号：s(3.0)代表运算结果，是补码形式的有符号二进制数（1个符号位）；overflow是溢出报警信号。,2008.11,65,补码形式的加法/减法器（续）,VHDL行为描述：,2008.11,66,补码形式的加法/减法器（续）,