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文档简介

,一、矩阵秩的概念,矩阵的秩,例1,解,例2,解,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,问题：经过变换矩阵的秩变吗？,证,二、矩阵秩的求法,经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变,证毕,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,则这个子式便是的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,解:,A,由R(A)=2,得,即,二、矩阵秩的性质,性质1:0R(Amn)minm,n;性质2:R(AT)=R(A);性质3:若AB,则R(A)=R(B);性质4:若P,Q可逆,则R(PAQ)=R(A);,性质5:maxR(A),R(B)R(AB)R(A)+R(B),特别当B=b时,R(A)R(Ab)R(A)+1.,证明:由于A的最高阶非零子式当然是(AB)的非零子式,故R(A)R(AB).同样R(B)R(AB),故maxR(A),R(B)R(AB).,设R(A)=r,R(B)=t.对A和B分别做列变换,化为列阶梯形矩阵A1和B1,则A1和B1中分别含有r个和t个非零列,AA1=(a1,a2,ar,0,0),BB1=(b1,b2,bt,0,0),设为,从而(AB)(A1B1),但是(A1B1)中仅有r+t个非零列,因此,R(AB)=R(A1B1)r+t=R(A)+R(B).,性质6:R(A+B)R(A)+R(B).,证明:设A,B为mn矩阵,对矩阵(A+BB)作列变换:cicn+i(i=1,2,n)得,(A+BB)(A+OB),于是,R(A+B)R(A+BB),=R(A+OB),R(A)+R(B).,性质7:R(AB)minR(A),R(B).性质8:若AmnBnl=O,则R(A)+R(B)n.,这两条性质将在后面给出证明.,例7:设A为n阶方阵,证明R(A+E)+R(AE)n.,证明:因为(A+E)+(EA)=2E,由性质6知,R(A+E)+R(EA)R(2E)=n,而R(EA)=R(AE),R(A+E)+R(AE)n.,所以,1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,三、小结,3.矩阵秩的性质,思考题,思考题解答,设A为任一实矩阵,R(ATA)与R(A)是否相等?,相等.,由此可知:Ax=O与ATAx=O同解.,因为,对任一实列矩阵xO,当Ax=O时,必有ATAx=O,即(ATA)x=O.,反之当(ATA)x=O时,有xT(ATA)x=0.,即(Ax)T(Ax)=0.,则Ax=O.,故,R(ATA)=R(A).,注:,三、小结,(2)初等变换法,1.矩阵秩的概念,2.求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
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