中学数学中的历史专题讲解.ppt

1,中学数学中的历史专题,华东师范大学数学系2004年5月,2,负数的历史,中国九章算术(1世纪)方程章：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”,3,负数的历史,三元一次方程组,4,负数的历史,九章算术（1世纪）“正负术”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”刘徽（3世纪）九章算术注：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”,5,负数的历史,希腊丢番图（diophantus,3世纪）算术：方程4x+20=4是没有意义的。印度婆罗摩笈多（Brahmagupta,7世纪）：明确的正负数概念及其四则运算法则。摩诃毗罗（Mahavira,9世纪）,6,负数的历史,婆什迦罗(Bhaskara)：以直线上的不同方向，或“财产”（assets）与“债务”(debts)来解释正、负数。方程x2-45x=250有两个根：x=50或-5。但他说：“第二个根并不用，因为它是不足的。人们并不支持负根。”“正数和负数的平方为正数；正数的平方根有两个，一正一负。负数没有平方根，因为它不是平方数。”,7,负数的历史,欧洲斐波纳契（L.Fibonacci,1170?1250?）花朵：方程x+36=33是没有解的，除非第一个人(x)欠债3个硬币；方程组无解，除非第一个人(x1)是欠债的。,8,负数的历史,帕西沃里（L.Pacioli,14451517）在算术、几何、比例与比例性概论（1494）中提出“负负得正”（minustimesminusgivesplus），但仅将其用于求。纯粹的“负量”在其著作中并未出现。,9,负数的历史,奥地利德国代数学家鲁道夫（Rudolff）尽管使用了“”和“-”符号，但只知道正数和正根。德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel,14871567）整数算术称从零中减去一个大于零的数(如0-3)得到的负数“小于零”，即“小于一无所有”，“荒谬的数”。意大利数学家卡丹（G.Cardano,15011576）大术：承认方程的负根，并给出简单的法则。,10,负数的历史,意大利数学家邦贝利（R.Bombelli,15261572）在代数(1572)：(+15)+(-20)=-5英国数学家哈里奥特（T.Harriot,15601621）偶然地将一个负项置于方程一边。韦达(F.Vieta,15401603)只知道正数。帕斯卡(B.Pascal,16231662)则认为：从0减去4纯粹是胡说！但吉拉尔（A.Girard,15951632）承认负数。,11,负数的历史,最早全面解释和构造、并系统使用负数的是笛卡儿（R.Descartes,15961650），但他称之为“假数”。沃利斯(J.Wallis)无穷算术（1655）：因为a/0为无穷大（a0），所以a/ba/0（b0,b0)，则x=a或x=b。如方程3x-x2=2的根为x=1或x=2。对于三次、四次和五次方程，韦达给出了类似的结果。韦达又注意到，若三次方程x3+b=ax(a0,b0)有两个正根r1和r2，则有,92,根与系数关系的历史,卡约黎（F.Cajori,18591930）在初等数学史中评价道：“韦达获得了关于方程的根与系数关系的部分知识，遗憾的是他抛弃了正根之外的所有根，因而未能全面理解根与系数的关系。他最接近的结果是：三次方程有三个根u、v、w。对于三次方程，当u、v、w可以取任何数时，这个结论是完美的。但韦达只习惯给字母赋正值，所以，这个结论比它乍看起来所具有的意义要狭窄。”,93,根与系数关系的历史,阴差阳错荷兰数学家吉拉尔（A.Girard,15951632）在出版于1629年的代数新发明中第一个给出“韦达定理”的正确表述。给定若干个数，吉拉尔将它们的和称为“一次和”（thefirstfaction），将所有两两乘积的和称为“二次和”（thesecondfaction），将所有三三乘积的和称为“三次和”（thethirdfaction），等等。显然，给定多少个数，就有多少个这样的和。吉拉尔定义了一个和“贾宪三角”（西方称为“帕斯卡三角”）一样的“开方三角”，如图1所示。,94,根与系数关系的历史,图1吉拉尔的算术三角形,95,根与系数关系的历史,他给出下面的Theorem1对于n个给定的数，上面定义的诸次和中所含乘积的个数分别对应于“开方三角”的第n行中第二个数以后的各数。如，给定四个数，那么“一次和”含4个乘积，“二次和”含6个乘积，“三次和”含4个乘积，“四次和”含1个乘积。因此，吉拉尔实际上给出了n个数的k次和中所含乘积数为组合数。,96,根与系数关系的历史,接着，吉拉尔给出一个重要定理，包括今天所说的代数基本定理和韦达定理。将n次方程写成(1)的形式（吉拉尔称之为“交错序”，即将偶次项和奇次项各写在一边，但最高次项系数为1），则吉拉尔的定理相当于说：,97,根与系数关系的历史,Theorem2方程(1)有n个根，且所有根的一次和为a1，二次和为a2，三次和为a3，n次和为an。设(1)的n个根分别为xi（i=1，2，n），则有(一次和)，(二次和)，(三次和)，(n次和),98,根与系数关系的历史,如方程写成交错序形式为其四个根（1、2、-3和4）的诸次和分别为4、-7、-34和-24。,99,根与系数关系的历史,吉拉尔指出，为了确定根与系数关系的一般法则，必须把重根和不可能的根（虚根）也计算在内。如四次方程的四个根为1、1、和，诸次和分别为0、0、4、3。,100,根与系数关系的历史,吉拉尔另一个重要贡献是提出了方程根的“幂和公式”。Theorem3若将n次方程写成(2)的形式，则方程n个根的一次幂和为A，二次幂和为，三次幂和为，四次幂和为。,101,根与系数关系的历史,这个结论就是后人所称的“牛顿幂和公式”。但牛顿发表此结果比吉拉尔迟了近一个世纪！英国学者休顿（C.Hutton,17371832）在数学与哲学辞典中这样评价吉拉尔：“他是第一个知道方程根的和或根的乘积之和与系数关系一般理论的人，也是第一个发现方程根的幂和公式的人”。,102,根与系数关系的历史,因此，我们通常所说的韦达定理竟然是吉拉尔首次完整给出的，而吉拉尔首次发现的幂和公式却被命名为“牛顿幂和公式”，真是有点阴差阳错！与吉拉尔同时代的英国著名数学家哈里奥特（T.Harriot,15601621）也发现了根与系数的关系，他的结论发表在实用分析术(1631)里，但是该书在他去世10年后才得以出版。他将方程看成一次二项因式的乘积，从而认识到当根为正数时方程的根与系数之间的关系。,103,根与系数关系的历史,图2最早的因式分解,104,根与系数关系的历史,图2是他所用方法的一个例子，其中a表示方程的未知数，b、c和d是方程的根。哈里奥特第一个将方程写成一边为0的形式，而且也是第一个将方程左边进行因式分解的人，但他并不接受负根和虚根。另一位英国数学家奥特雷德（W.Oughtred,15741660）在出版于1631年的著作中也提到了韦达的结论，但并没有作进一步的探讨。,105,根与系数关系的历史,在接下来的75年里，一直到牛顿时代，根与系数的关系理论几乎没有取得什么进展。类似于哈里奥特，法国大哲学家和数学家笛卡儿（R.Descartes,15961650）在出版于1637年的方法论第三个附录几何学里，将方程左边分解成未知数与一个根的差构成的一次因式的乘积，后人称之为“笛卡儿因式定理”。但由于笛卡儿研究方程的目的是解决几何问题，因此他并没有进一步探究根与系数的关系。,106,根与系数关系的历史,1673年，英国著名数学家沃里斯（J.Wallis,16161703）在其代数中，列专章讨论“系数的合成”。他的基本结论是，如果一个方程按降幂形式写出（首项系数为1），那么第二项系数是所有根的和，第三项系数是所有根两两乘积的和，等等（系数与诸和实际上都取绝对值）。这不过重复了吉拉尔的结论。,107,根与系数关系的历史,巨人的魅力在历史发展的长河中，牛顿（I.Newton,16431727）无疑是最伟大的科学家之一，在牛顿那耀眼的光环下，吉拉尔有关方程根与系数关系的工作似乎显得黯然失色，虽然牛顿在普遍的算术(1707)中给出和吉拉尔一样的结论已经是近一个世纪之后的事了。牛顿将n次方程写成,108,根与系数关系的历史,(3)并设p=a，pa+2q=b，pb+qa+3r=c，pc+qb+ra+4s=d，pd+qc+rb+sa+5t=e，pe+qd+rc+sb+ta+6v=f，,109,根与系数关系的历史,则a为所有根的和，b为所有根的平方和、c为立方和、d为四次幂和，e为五次幂和，f为六次幂和，等等。显然，牛顿的公式和吉拉尔的结论完全一致，只是吉拉尔分别将奇次项和偶次项置于方程两边，而牛顿将所有项放在方程的一边，从而导致两人得到的各项系数的符号有差异。不过牛顿的公式显得更有规律，根据前面诸次幂和，我们很容易写出高一次的幂和。,110,根与系数关系的历史,和吉拉尔一样，牛顿也没有给出这一公式的证明。18世纪，许多数学家对牛顿幂和公式进行了证明，其中最重要的证明是麦克劳林（C.Maclaurin,16981746）和欧拉（L.Euler,17071783）给出的。因而在18世纪的数学著作中，方程根与系数的关系已经是一个很常见、且易于理解的内容了。,111,根与系数关系的历史,在牛顿幂和公式的影响下，对称函数开始引起人们的普遍关注。1771年，法国著名数学家范德蒙（A.T.Vandermonde,17531796）在他的文章中提出重要的定理：“根的任何有理对称函数都可以用方程的系数表示出来”。他还首次构造了对称函数表。至此，人们对对称函数的兴趣就更加浓厚了，许多著名数学家如华林（E.Waring,17341798）、欧拉、克莱姆（G.Cramer,17041752）、拉格朗日（J.L.Lagrange,17361813）、柯西（A.L.Cauchy,17891857）、希尔奇,112,根与系数关系的历史,（M.Hirsch,17651851）等都在对称函数的研究中取得了重要结果。其中拉格朗日在表示对称函数时采用了欧拉于1755年引入的求和符号；还给出了方程根的负数指数幂和公式。希尔奇在其1809年出版的代数著作中证明了牛顿和范德蒙的定理，还构造了直到十次方程根的对称函数表，成为最早广泛传播的对称函数表。,113,根与系数关系的历史,透过方程的根与系数的关系从发现到完善再到证明所经历的300多年的历史，我们既能看到一个重要的数学发现所经历的各种变迁，又能感受到数学家们在这个艰难的历程中对真理不懈的追求，特别要指出的是：根与系数关系的发现历程是和根的对称函数密不可分的，这大概是数学家对美的追求导致数学发展的一个典型例子吧！,114,根与系数关系的历史,主要参考文献1Cajori,F.AHistoryofElementaryMathematics.NewYork:TheMacmillanCompany,1917.2Funkhouser,H.G.ThehistoryofSymmetricfunctions.AmeiricanMathematicalMonthly,1930,37:357-3653