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2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,1,复习实数与向量积,2,=180,=90,回顾向量夹角的定义,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角。,=0,特殊情况,O,B,A,3,找向量夹角必须保证向量有相同的起点,4,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,S,力F所做的功W可用下式计算W=|F|S|cos其中是F与S的夹角,新课引入,5,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,S,力F所做的功W可用下式计算W=|F|S|cos其中是F与S的夹角,新课引入,在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？,6,规定:零向量与任一向量的数量积为数0。,数量积(向量的乘法)定义：,说明：(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,怎么决定？,(2)ab不能写成ab,已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab.ab=|a|b|cos，,7,8,|b|cos叫向量b在a方向上的投影,为锐角时，|b|cos0,为钝角时，|b|cos0,为直角时，|b|cos=0,数量积的几何意义,数量积ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。,9,数量积的重要性质:,说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。,10,平面向量数量积的运算律,已知向量和实数，则向量的数量积满足：,注意：数量积运算不满足结合律,11,1若a=0，则对任一向量b，有ab=02若a0，则对任一非零向量b,有ab03.若a0，ab=0,则b=04.若ab=0,则ab中至少有一个为05.若b0，ab=bc,则a=c6.若ab=ac,则bc,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(ab)ca(bc)8.对任一向量a,有a2=|a|2,练习：判断正误,(）,(）,(）,(）,(）,(）,(）,(）,12,平面向量的数量积及运算律,例2.求证：（1）（2）,证明：（1）,（2）,向量满足完全平方公式、平方差公式,13,14,例4.已知,与的夹角为60，,求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；（3）,=2,
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