概率论与数理统计浙大四版第七章第七章3讲

第四节,区间估计,引言,前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,求置信区间的一般步骤:,1.明确问题,是求什么参数的置信区间?,置信水平是多少?,2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn),称S(T,)为枢轴量.,3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.,5.对“aS(T,)b”作等价变形,得到如下形式:,则就是的100()的置信区间.,而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.,这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.,主要讨论以下几种情形：,单个正态总体均值和方差的区间估计.,两个正态总体均值差和方差比的区间估计.,书末附有分布、t分布、F分布的上侧分位数表，供使用.需要注意的事项在教材上有说明.,至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决.,在求置信区间时，要查表求分位数.,一、单个总体的情况,由例1可知:,1.,包糖机某日开工包了12包糖,称得质量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布,解,.新建文件夹42-1.ppt2-1,例2,附表2-2,查表得,推导过程如下:,解,有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值,附表3-1,例3,就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,推导过程如下:,根据第六章第二节定理二知,进一步可得:,注意:在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).,(续例2)求例2中总体标准差的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,附表4-1,附表4-2,例4,需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.,对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.,由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得P(aUb).,例如，设X1,Xn是取自的样本，,求参数的置信水平为的,置信区间.,N(0,1),由P(-1.75U2.33)=0.95,这个区间比前面一个要长一些.,我们总是希望置信区间尽可能短.,类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.,任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.,在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.,a=-b,即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.,我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于1的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.,也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差.这是一对矛盾.,实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些.,休息片刻继续,二、两个总体的情况,讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.,推导过程如下:,1.,解,由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知),推导过程如下:,2.,根据F分布的定义,知,解,解,一个正态总体未知参数的置信区间,两个正态总体未知参数的置信区间（一）,两个正态总体未知参数的置信区间（二）,三、单侧置信区间,上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.,例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.,这时，可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.,于是引入单侧置信区间和置信限的定义：,又若统计量满足,单个正态总体均值与方差的单侧置信区间,由于方差未知，取枢轴量,解：的点估计取为样本均值,对给定的置信水平，确定分位数,使,即,于是得到的置信水平为的单侧置信区间为,将样本值代入得,的置信水平为0.95的单侧置信下限是,1065小时,同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的置信区间的具体方法.,这一讲，我们介绍了区间估计.,数学奖菲尔兹奖与阿贝尔奖,沃尔夫奖,为什么诺贝尔在以他名字命名的奖项中不设立数学奖？这个问题曾经引起许多猜测。比较流行的说法有两种：一个传说是诺贝尔本人认为数学与人类的进步没有直接的关联，因而不值得为数学设立专门奖项；另一个更为广泛的说法是，当时瑞典的领头数学家莱夫勒，他是诺贝尔的情敌，如果设立诺贝尔数学奖，则很可能非莱夫勒莫属。当然，事实真相究竟如何，现在已经难以精确地考证，但诺贝尔部设立数学奖却早已成为不争的事实，引起数学界的普遍抱怨。,菲尔兹是加拿大的数学家，热心倡导数学国际交流活动，曾成功组织了多伦多举办的第7届国际数学大会。菲尔兹是莱夫勒的好朋友，他对诺贝尔不设立数学奖颇有不满，于是他提议将第7届国际数学大会剩余经费用来设立一个数学奖。在他去世前，菲尔兹又把自己的财产中的一大笔钱捐献出来，以增加数学奖的费用。在1932年苏黎世举行的第9届数学大会上，大会组织成员决定把这个数学奖命名为“菲尔兹奖”。菲尔兹奖用来奖励年龄不超过40岁的年轻数学家，每次获奖者不超过4人，每位获奖者可得到一枚纯金奖章和一笔数额不大的奖金。1982年华裔美国数学家丘成桐获得了菲尔兹奖，成为目前唯一获此殊荣的华人。,菲尔兹奖每4年颁发一次，且奖金数量远远不能和诺贝尔奖相比较。2002年，挪威政府宣布将于2003年开始颁发“阿贝尔奖”，以纪念挪威天才的青年数学家阿贝尔诞辰200周年。这项奖金每年一次，奖金约50万美元。这足可以和诺贝尔奖金相比较。菲尔兹奖