协方差及相关系数

一、协方差与相关系数的概念及性质,二、相关系数的意义,三、小结,第三节协方差及相关系数,前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的,协方差和相关系数,1.问题的提出,一、协方差与相关系数的概念及性质,在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。,这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图。,问：父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？,类似的问题有：,1、吸烟和患肺癌有什么关系？,定义对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。,特别,若X=Y,则cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X),因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.,可以证明若(X,Y)服从二维正态分布,即,则,2.定义,可见，若X与Y独立，则,4.计算协方差的一个简单公式,Cov(X,Y)=0.,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),3随机变量和的方差与协方差的关系,(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(对称性),5.简单性质,(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常数,下面请大家利用上面所学的知识进行证明。,(1)Cov(X,X)=D(X),(2)Cov(X,c)=0(c为常数),协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是,Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:,再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.,为随机变量X和Y的相关系数(correlationcoefficient).,1.定义:若D(X)0,D(Y)0,且Cov(X,Y)存在时，称,在不致引起混淆时，记为.,二、相关系数,2.相关系数的性质,注意|XY|的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:XY=0时,X,Y之间无线性关系;|XY|=1时,X,Y之间具有线性关系.,XY0,X,Y正相关XY0,完全负相关Y=aX+ba0,当方差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于的概率的估计值,切比雪夫不等式的用途：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。,例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为P(5200X9400),P(5200X9400),=P(-2100X-E(X)2100),=P|X-E(X)|2100,由切比雪夫不等式,P|X-E(X)|2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9.,例2设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估