材料力学课件--4 截面几何性质

Chapter4PropertiesofPlaneAreas,第四章截面的几何性质,第四章截面的几何性质(AppendixPropertiesofplaneareas),4-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentsofthearea¢roidofanarea),4-4转轴公式(Rotationofaxes),4-2极惯性矩惯性矩惯性积(PolarmomentofinertiaMomentofinertiaProductofinertia),4-3平行移轴公式(Parallel-Axistheorem),4-1截面的静矩和形心(Thefirstmomentofthearea¢roidofanarea),一、静矩(Thefirstmomentofthearea）,截面对y,z轴的静矩为,静矩可正，可负，也可能等于零.,y,z,O,y,z,二、截面的形心(Centroidofanarea),（2）截面对形心轴的静矩等于零.,（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.,三、组合截面的静矩和形心(Thefirstmoments¢roidofacompositearea),由几个简单图形组成的截面称为组合截面.,截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩.,其中Ai第i个简单截面面积,1.组合截面静矩(Thefirstmomentsofacompositearea),2.组合截面形心(Centroidofacompositearea),第i个简单截面的形心坐标,解：组合图形，用正负面积法解之.方法1用正面积法求解.将截面分为1，2两个矩形.,例题1试确定图示截面形心C的位置.,取z轴和y轴分别与截面的底边和左边缘重合,10,10,120,90,图(a),矩形1,矩形2,所以,方法2用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b),4-2极惯性矩、惯性矩、惯性积(Polarmomentofinertia、Momentofinertia、Productofinertia),二、极惯性矩(Polarmomentofinertia）,一、惯性矩(Momentofinertia),所以,y,z,O,三、惯性积(Productofinertia),（1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零；,（2）若y，z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零.,四、惯性半径(Radiusofgyrationofthearea),解：,b,h,y,z,C,例题2求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩.,解：因为截面对其圆心O的极惯性矩为,例题3求圆形截面对其对称轴的惯性矩.,所以,y,z,O,C(a,b),b,a,一、平行移轴公式(Parallel-Axistheoremformomentofinertia),(a,b)形心C在yOz坐标系下的坐标,4-3平行移轴公式(Parallel-axistheorem),y,z任意一对坐标轴,C截面形心,C(a,b),b,a,yC,zC过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）,Iy,Iz,Iyz截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.,已知截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式,IyC,IzC,IyCzC截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.,二、组合截面的惯性矩、惯性积(Momentofinertia&productofinertiaforcompositeareas）,组合截面的惯性矩，惯性积,第i个简单截面对y,z轴的惯性矩，惯性积.,例题4求梯形截面对其形心轴yC的惯性矩.,解：将截面分成两个矩形截面.,截面的形心必在对称轴zC上.,取过矩形2的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作y轴.,所以截面的形心坐标为,20,140,100,20,2,一、转轴公式(Rotationofaxes),4-4转轴公式(Rotationofaxes),yOz为过截面上的任一点建立的坐标系,y1Oz1为yOz转过角后形成的新坐标系,已知截面对坐标轴轴y,z轴的惯性矩和惯性积求截面对y1，z1轴惯性矩和惯性积.,转轴公式为,显然,二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principalaxes&principalmomentofinertia),主惯性轴(Principalaxes)：总可以找到一个特定的角0,使截面对新坐标轴y0,z0的惯性积等于0,则称y0,z0为主惯性轴.,主惯性矩(Principalmomentofinertia)：截面对主惯性轴y0,z0的惯性矩.,形心主惯性轴(Centroidalprincipalaxes)：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴.,形心主惯性矩(Centroidalprincipalmomentofinertia)：截面对形心主惯性轴的惯性矩.,求出后，就确定了主惯性轴的位置.,（1）主惯性轴的位置设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角,则有,由此,（2）主惯性矩的计算公式,（3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴.,过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴.截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值.即,求形心主惯性矩的方法,（1）确定形心的位置,（2）选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴y,z,计算Iy,Iz,Iyz,（3）确定形心主惯性轴的方位,（4）计算形心主惯性矩,例题5计算所示图形的形心主惯性矩.,解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.,过形心C选一对座标轴yz轴，计算其惯性矩(积).,在第三象限,分别由y轴和z轴绕C点逆时针转113.8得出.,形