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文档简介

数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,！,在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.,第四节三大抽样分布及常用统计量的分布,1,（卡方）分布,定义1:设总体，是的一个样本,则统计量,的概率密度函数为,则称统计量服从自由度为n的分布，记作,2,其图形随自由度的不同而有所改变.,分布密度函数的图形,注：自由度是指独立随机变量的个数，,3,性质1：2分布的数学期望与方差,设22(n)，则E(2)=n，D(2)=2n.,性质2：2分布的可加性,设,则,4,5,定理1设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的样本，则,证明,由已知，有,XiN(，2)且X1，X2，Xn相互独立，,则,由定义1:得,6,定理3:设(X1，X2，Xn)为来自正态总体XN(，2)的样本，则,(1)样本均值与样本方差S2相互独立；,(4.1)式的自由度为什么是n-1？,从表面上看，,但实际上它们不是独立的，,它们之间有一种线性约束关系：,=0,这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.,7,定理3：设(X1，X2，Xn)为来自正态总体XN(，2)的样本，则,(1)样本均值与样本方差S2相互独立；,与以下补充性质的结论比较：,性质设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的样本，则,8,其几何意义见图5-5所示.,其中f(x)是2-分布的概率密度.,显然，在自由度n取定以后，的值只与有关.,2分布的上侧分位点,9,例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，,10,二、t分布,定义3,设随机变量XN(0，1)，Y2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n的t分布，,记作,t分布的概率密度函数为,Tt(n).,其图形如图5-6所示(P106)，,其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.,当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,11,定理4,设(X1，X2，Xn)为来自正态总体XN(，2)的样本，则统计量,证,由定义3得,12,定理5,设(X1，X2，Xn1)和(Y1，Y2，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,13,14,t分布的上侧分位点,对于给定的(045.,一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.,17,三、F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,概率密度函数,其中,其图形见图5-9.(P108
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