函数插值法5v

北京科技大学数理学院卫宏儒Weihr168,科学与工程计算,第7章插值法,插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用。在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值)，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数(x)，或为各种离散数据建立连续模型，使其近似的代替f(x)，具体有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit插值，分段插值和样条插值。,求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数y=f(x)在互异点x0,x1,.,xn处的值y0,y1,yn,构造一个简单函数p(x)作为函数y=f(x)的近似表达式y=f(x)p(x)使p(x0)=y0,p(x1)=y1,p(xn)=yn,(a)这类问题称为插值问题。f(x)称为被插值函数，p(x)称为插值函数，x0,x1,.,xn称为插值节点。(a)式称为插值条件。常用的插值函数是多项式。,基本概念,估计f(x)在区间a,b中某点的值时，当属于包含结点的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的函数，此时对应的插值函数为：由插值条件确定函数组称为插值基函数。,最简单的插值函数是代数多项式Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为:求n次多项式Pn(x),使满足插值条件pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出Pn(x)的系数a0,a1,an即可,为此由插值条件(2)知Pn(x)的系数满足下列n+1个代数方程构成的线性方程组a0+a1x0+anx0n=y0a0+a1x1+anx1n=y1.a0+a1xn+anxnn=yn(3),而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是Vandermonde行列式=(4)由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组(3)的解a0,a1,an存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组,当阶数n越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法-Lagrange插值和Newton插值。,Lagrange插值,一、Lagrange插值多项式先从最简单的线性插值(n=1)开始。这时插值问题(2)就是求一次多项式L1(x)=a0+a1x使它满足条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1.,这样l0(x)含有因子x-x1,令l0(x)=(x-x1),再利用l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到x-x1l0(x)=-,x0-x1类似的可得到x-x0l1(x)=-,x1-x0这样。(5)l0(x),l1(x)称为以x0,x1为节点的插值基函数。,线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题：作二次多项式L2(x)=a0+a1x+a2x2使其满足条件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2令L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2。由l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0,l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.,这样l0(x)含有x-x1,x-x2两个因子，令l0(x)=(x-x1)(x-x2),利用l0(x0)=1确定其中的系数，得(x-x1)(x-x2)l0(x)=-,(x0-x1)(x0-x2)类似的可以得出l1(x),l2(x):(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)l1(x)=-,l2(x)=-.(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1),于是(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)L2(x)=-y0+-y1+-y2.(6)(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)l0(x),l1(x),l2(x)称为以x0,x1,x2为节点的插值基函数。,仿照线性插值和二次插值的办法，进一步讨论一般形式的n次多项式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,使其满足Pn(x0)=y0,Pn(x1)=y1,.,Pn(xn)=yn(7)我们仍从构造插值基函数着手，先对某个固定的下标i，作n次多项式li(x),使其满足条件(8)容易求得(x-x0)(x-x1).(x-xi-1)(x-xi+1).(x-xn)li(x)=-=(xi-x0)(xi-x1).(xi-xi-1)(xi-xi+1).(xi-xn),.(9)公式（9）就是Lagrange插值多项式，li(x)称为以x0,x1,.,xn为节点的Lagrange插值基函数。,二、Lagrange插值的截断误差定理:设Ln(x)是过点x0，x1，x2，xn的n次插值多项式，f(n+1)(x)在a，b上存在，其中a，b是包含点x0，x1，x2，,xn的任一区间，则对任意给定的xa，b，总存在一点（a，b）（依赖于x）使(10)其中，f(n+1)()是f(x)的n+1阶微商在的值。,证明:记Rn(x)=f(x)-Ln(x)显然Rn(xi)=0,i=0,1,n,故可设Rn(x)=K(x)n+1(x)现在a,b上任意固定一点x,引进辅助函数g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)则g(t)在a,b上具有n阶连续导数，在(a,b)内存在n+1阶导数，在t=x0,x1,xn,x诸点处皆等于零,即g(t)在a,b中有n+2个零点,由Rolle定理知g(t)在a,b中有n+1个零点,如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在a,b中有1个零点,，即有g(n+1)()=0,ab.,因为n+1(t)是n+1次多项式，n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为Ln(t)是次数为n的多项式,因此Ln(n+1)(t)=0。这样，由(*)式便有由此得K(x)=f(n+1)()/(n+1)!.代入Rn(x)=K(x)n+1(x),定理得证.,上式称为带余项的Lagrange插值公式,只要f(x)具有n+1阶导数,就有上式成立,其余项为特别，当n=1时，取x0=a,x1=b，则有令x1-x0=b-a=h,x=x0+th,0t1则易证，当0t1时,|t(1-t)|的最大值为1/4，,应当指出，余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。在（a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出那么插值多项式pn(x)逼近f(x)的截断误差是(11)性质：假设x0,x1,xn是n+1个互异节点,函数f(x)在这组节点的值f(xk)(k=0,1,n)是给定的，那么存在唯一的n次次多项式pn(x)满足pn(xk)=f(xk),k=0,1,n,三、例题：已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。解：由题意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用线性插值及抛物插值计算，取x0=0.32及x1=0.34,又由公式得y1-y0sin0.3367L1(0.3367)=y0+(0.3367-x0)x1-x00.01892=0.314567+(0.0167)=0.330365.0.02,其截断误差得其中，因f(x)=sinx，f/(x)=-sinx，可取，于是R1(0.3367)=sin0.3367L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92105，若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为，,其截断误差为，其中于是用抛物插值计算sin0.3367时，可得,这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中于是,2020/5/8,例2:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据,高度(m)0100300100015002000.压强(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485试用二次插值法求1200米处的压强值.,解：设x为高度，y为大气压强的值，选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二次插值多项式(x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)p2(x)=-y0+-y1+-y2(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)代入已知的数值，得p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200-2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2),插值函数，插值节点n次插值基函数范德蒙(Vandermonde)行列式拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值余项,由前讨论，需掌握：,用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项式p(x)，满足下面两个条件：(1)p(x)是一个不超过n次的多项式；(2)在给定的点xi(I=0,1,n)上与f(xi)取相同值，即p(xi)=yi(I=0,1,n)。我们称p(x)为f(x)的插值函数，点xi为插值节点。插值函数是计算方法的基本工具。,若n次多项式li(x)(i=0,1,.,n)在n+1个节点x0x1.xn上满足条件就称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0，x1，,xn上的n次插值基函数。,插值余项：若在a，b上用pn(x)近似f（x）,则截断误差为Rn(x)=f(x)-pn(x),也称为插值多项式的余项。,Vandermonde行列式=,形如的插值多项式Ln(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。,插值基函数性质,则有：,Newton插值,拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便但由于p(x)依赖于全部基点，若算出所有p(x)后又需要增加基点，则必须重新计算，为了克服这个缺点，我们引进牛顿差商插值多项式。为了使Newton插值多项式具有承袭性，令插值函数具有下列形式：式中称为Newton插值基函数。为求出Nn(x),利用插值条件，我们先给出差商概念。,差商及其性质定义给定一个函数表记一般的,f(x)关于xi,xi+1,xi+k的k阶差商记作fxi,xi+1,xi+k,定理:差商具有如下性质(1)差商与函数值的关系为(2)差商的值与结点排列顺序无关,因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。,必须注意，n次代数插值问题的解是存在且唯一的，因此，Newton插值与Lagrange插值只是形式上不同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是完全一样的。,插商表,例1:给定数据表f(x)=lnx数据表xi2.202.402.602.803.00f(xi)0.788460.875470.955511.029621.098611.构造差商表2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x)解:差商表,N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846+0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80),所以有：,结论成立。,余项为：,数值微分,在实际问题中，往往会遇到某函数f(x)是用表格表示的，用通常的导数定义无法求导，因此要寻求其他方法近似求导。插值法是我们找到的一个最简单的方法.因为用f(x)的代数插值函数p(x)来代替它，提醒我们用p(x)的导数来代替f(x)导数作近似计算。,插值型求导公式,设pn(x)是f(x)的过点x0，x1，x2，xna，b的n次插值多项式，由Laglange插值余项知对任意给定的xa，b，总存在如下关系式:,若取数值微分公式,误差为:,因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值。,常用的数值微分公式是n=1,2,3的插值型微分公式,如:当n=1时,有,当n=2时,有,Hermite插值,一.问题描述二.定义三.定理四.构造函数五.例题六.一般插值,假设函数y=f(x)是在a,b上有一定光滑性的函数,在xoxn处是n+1个异点,f(x)在这些点上取值yo.yn.求一个确定的函数p(x)在上面n+1个点上满足p(xi)=yii=0,1,n.这是最简单的插值问题,如果除了知道f(x)在插值基点上的取值外,还知道f(x)在插值基点上的其他描述(如知道f(x)在插值基点上的导数值)。如何来构造插值函数呢?,一.问题描述,Hermite插值也叫带指定微商值的插值，它要构造一个插值函数，不但在给定节点上取函数值，而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好。,f(x)是区间a,b上n+1个互异节点a=x0x1x2xn=b，定义在a,b上的函数f(x)在节点上满足f(xi)=yif(xi)=yii=0,1,2n求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)满足2n+2个条件H(xi)=yiH(xi)=yii=0,1,2n若H(x)存在，则称为函数f(x)的Hermite插值多项式。因为H(x)是一个次数不高于2n+1次的多项式，常记为H2n+1(x).,二.定义,定理一:满足插值条件H(xi)=yiH(xi)=yii=0,1,2n且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。,三.定理,证明:令p(x)和q(x)是两个次数不高于2n+1的多项式且在插值基点都满足以上插值条件,即:p(xi)=q(xi)=yi,p(xi)=q(xi)=yi,i=0,1,2n令F(x)=p(x)-q(x),有F(xi)=0,F(xi)=0,i=0,1,2,.n故F(x)有2n+2个根。由于p(x),q(x)都是次数不高于2n+1的多项式,由代数基本定理知F(x)=p(x)-q(x)0,所以有p(x)q(x),多项式唯一。,定理二:f(x)在区间a,b存在2n+2阶导数,则其Hermite插值余项为:,设Hermite插值函数nnH2n+1(x)=Li(x)yi+hi(x)yii=0i=0Li(x)，hi(x)都是不高于2n+1次的多项式，类似Lagrange插值，利用Hermite插值条件可得：Li(xj)=ijhi(xj)=0Li(xj)=0hi(xj)=iji,j=0,1,2n从而可设Li(x)=(aix+bi)li(x)2hi(x)=(cix+di)li(x)2,四.构造函数,这里li(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xi-1)(x-xi+1)(x-xn)ai,bi,ci,di为待定系数,分别由Li(xi)=1和Li(xi)=0及hi(xi)=1(i=0,1,2,n)确定.三次Hermite插值函数的构造(n=1,2n+1=3)已知数表：xx0 x1yy0y1yy0y1求一个三次Hermite插值函数H3(x).解:H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y0h0(x)+y1h1(x)对x=x0,有L0(x0)=1L1(x0)=0h0(x0)=0h1(x0)=0L0(x0)=0L1(x0)=0h0(x0)=1h1(x0)=0对x=x1,有L0(x1)=0L1(x1)=1h0(x1)=0h1(x1)=0L0(x1)=0L1(x1)=0h0(x1)=0h1(x1)=1,L0(x)=(a0 x+b0)(x-x1)2h0(x)=a(x-x0)(x-x1)2解之得L0(x)=1+2*(x-x0)/(x1-x0)(x-x1)/(x0-x1)2h0(x)=(x-x0)(x-x1)/(x0-x1)2同理有L1(x)=1+2*