高等数学及其应用电子教案(第二版)(同济大学数学系)ch

,无穷小与无穷大,本节要点,本节讨论论在极限理论中起着重要作用的两类变量,无穷小和无穷大.,一、无穷小的概念和性质,二、无穷小的比较,三、无穷大,一、无穷小的概念和性质,定义1.5在自变量的某个变化过程中,若函数,的极限为零,那么叫作该变化过程中的无穷小.,注变量是否为无穷小既与变量的表达式有关,也,与自变量的变化过程有关.,例如变量,是时的无穷小.而,时的无穷小.,是,注无穷小是以零为极限的变量,不能把它等同于一个,很小的量.,定理1.1在自变量的某一变化过程中,函数有极限,的充分必要条件是,其中是无,穷小.,证,设,令,则,即是的同一变化过程中的无穷小.,反之,若,其中,则,即的极限为,定理1.2有限个无穷小之和是无穷小;,无穷小的运算性质,证由极限的运算法则容易得到和,今证.,设,有界函数与无穷小之积是无穷小.,有限个无穷小之积是无穷小;,考虑当时的情况.,在的某个空心邻域中有界,即存在,使得在该邻域中总有,由于在该邻域中总有,再设,又,由夹逼定理得,即,此说明,是时的无穷小.,例1.28求极限,解因，故由定理1得,下图是函数的图形,从图中可以看出,当时,对应的函数值虽然交替地取正负值但是却无限接近于0.,例1.29求极限,解因,又:,所以:,有界量与无穷小乘积,二、无穷小的比较,我们知道,若是两个数,则比较两数的大小的方,法是计算若设是无穷小,因仍然是,即上面的方法没有什么意义.那么是否说明无穷小之间,无穷小,即,不存在“大小”关系呢？通过下面的图示,我们来观察当,时函数的变化趋势.,三条曲线的比较,在上图中可以看到:当时,几乎以相同,观察,我们发现则以比更快的速度趋,的速度趋于,而则以较快的速度趋于进一步地,于,从中我们可以看出,在无穷小之间也存在一个“大小”,我们考察极限,关系.而这个关系不能用它们的差值来刻画,我们考虑,是否能用它们的商来刻画,即通过比值来确定,并且这,个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述.具,体地说,若变量是自变量在某个变化过程,中的无穷小,即,为此,我们引入:,定义1.6设是自变量在某个变化过程中,若,则称是的高阶无穷小,若,若,的两个无穷小,记作,则称是的同阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记,作,例1.30证明当时，为的等价无,证明因,即为的等价无穷小.,穷小.,熟记这些常用的等价无穷小是有益的.,当时,常见的一些等价无穷小:,定理1.3设,证,此定理又称为等价无穷小的替换准则.,为无穷小,且,又,存在,则,例1.31求极限,解当时,所以,例1.32求,解当时,又,所以,所以,例1.33求,解令,注意到由,所以,上例表明:当,时,特殊的,当时,有,值得注意的是:等价无穷小替换只能用于乘除法,而,但如用等价无穷小替换,则会导出,这一错误的结论.,不能用于加减法.例如极限:,三、无穷大,若在的某个变化过程中,变量的绝对值,无限增大,则称是该变化过程中的无穷大,记为,例如是时的无穷大,即,而是时的无穷大,即,若大于零而绝对值无限增大,则称为正无,穷大;若小于零而绝对值无限增大,则称为,负无穷大,分别记为,和,例如,而,函数图形见下图:,无穷小与无穷大的关系,在自变量同一过程中,若是无穷小,且则是无穷大.,若是无穷大,则是无穷小;,例1.34求极限,解考虑极限:,容易得到该极限为