陈维新《线性代数简明教程》ch课件

1.4行列式按行（列）展开,1.3行列式的性质,1.3行列式的性质,行列式计算是本章的中心课题。,按照定义，n阶行列式是n！项的代数和，而在n较大时n！就变成一个很庞大的数据，从定义出发计算上、下三角等一些特殊的行列式有公式，而对一般行列式的计算则需要借助于行列式的一些性质，以简化行列式的计算。,首先引入转置行列式的概念，,考虑,称DT为D的转置行列式.,将它的行依次变为相应的列（行、列互换），得DT，,D=DT(行列互换，行列式的值不变）,即,证：事实上，若记,性质1,取行指标为标准排列,取列指标为标准排列,性质1的意义何在呀？,行列式的行与列地位平等，因而后面对行成立的性质，对列也成立。,矩阵可以有如下定义:,行列式的两行（列）互换，行列式的值变号，,性质2,即,行列式若有两行（列）对应元素完全相同，则行列式为零.,推论1,证：,设行列式D的i行和k行相同，则若将i行和k行互换，所得仍为D。但是由性质2知，互换前后变号，即DD，所以，D0。,行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k，等于数k乘以此行列式，换言之，行列式某一行(列)所有元素的公因子k可提到行列式的外面相乘，即,性质3,若行列式中一行(列)所有元素为零，则行列式等于零；,推论2,即为性质3中k0的情况,如果行列式的两行（列）元素对应成比例，则行列式为零。,性质4,0,例,计算行列式,例,已知,求：,解,(分行列相加性）,性质5,推论3,行列式的某一行（列）加上另一行（列）对应元素的k倍，行列式的值不变，,性质6,即,k倍,注:,交换ij两行记作Rij交换ij两列记作Cij,以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上记作RikRj(CikCj),为了书写方便，特作如下约定：,例,计算,右边n阶行列式等式成立吗？,上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积，因此计算行列式常利用行列式的性质，把行列式化成上（下）三角行列式。,这是计算行列式最基本的方法必须掌握,例,计算,例计算,解：,C12,D,最好把首个位置变成1,R2R1,R45R1,0,0,8,16,6,4,7,2,R23,R34R2,R48R2,40,例,计算n阶行列式,解法一,把D的第2列，第3列，.，第n列都加到第1列，得到：,当每一行（列）元素之和都相等时，这是经常采用的方法.,解法二,称为“箭”型行列式.,若把行列式中的a改成x，则可以得到结果：,这是关于x的n次多项式.,当行列式中元素包含x的整数次幂时，该行列式就是关于x的一个多项式.,例如,1.3行列式按行(列)展开,由于三阶、二阶行列式可直接写出，因而计算行列式中一个常用方法就是把高阶行列式归化为低阶行列式。,余子式，代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,返回,定义,例如,例求出行列式,解:,行列式按一行（列）展开定理,n阶行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,定理,证,(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即,而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;,(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即,将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后,aij位于第1行、第1列,即,(iii)一般地,由(i),由(ii),n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，,定理,即,证,按s行展开，,所以，,同理可证，,利用行列式按一行(列)展开，可将n阶行列式化为n个n1阶行列式，若选取的行(列)只有个别数不为零，就可达到降阶化简的目的。,所以通常先利用行列式的性质使得某一行(列)含有较多的零，并选取含0元素比较多的行或者列来展开。,C1+C4C1C4,计算行列式,例,(-1)(1)2+1,R24R1,别丢了代数余子式的符号,例计算行列式,解,通常选取含0元素比较多的行或者列来展开,2+86,例,证明n（n1)阶行列式,所有右边元素减去左边元素的乘积,称为n阶范德蒙德行列式,证,利用数学归纳法，,n2时结论成立，,假设对n1时结论成立，即,则n阶范德蒙德行列式,计算行列式,例,解,D是4阶范德蒙德行列式的转置，,所以,范德蒙德行列式是一类重要的行列