10.3二项式定理及其应用

要点梳理1.二项式定理.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，其中的系数（r=0，1，2，n）叫做.式中的叫做二项展开式的，用Tr+1表示，即展开式的第项；Tr+1=.,10.3二项式定理及其应用,二项式系数,通项,r+1,基础知识自主学习,2.二项展开式形式上的特点（1）项数为.（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.（3）字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.（4）二项式的系数从，一直到，.,n+1,n,降幂,升幂,3.二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端的两个二项式系数相等，即（2）增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项和相等，且同时取得最大值.,“等距离”,（3）各二项式系数的和（a+b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即=2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和奇数项的二项式系数的和，即=.,等于,基础自测1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A.24B.18C.16D.6解析T2=所以2n=8，n=4,所以=6.,D,2.（2009浙江）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A.-10B.10C.-5D.5解析的展开式的通项为令10-3r=4,得r=2,x4项的系数为=10.,B,3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为（）A.3B.6C.9D.12解析x3=2+（x-2）3，展开式中含（x-2）2项的系数为a2=T2+1=23-2=32=6.,B,4.在的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是（）A.3B.4C.5D.6解析通项Tr+1=常数项是15，则2n=3r,且=15，验证n=6时，r=4合题意.,D,5.（2009北京）若（1+）5=a+b(a、b为有理数)，则a+b=（）A.45B.55C.70D.80解析(1+)5=1+5+20+20+20+4=41+29=a+b,a=41,b=29.,C,又a、b为有理数,a+b=41+29=70.,题型一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n,再用通项公式求有理项.解二项展开式的前三项的系数分别是1，n（n-1），2=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去），,思维启迪,题型分类深度剖析,当4-kZ时，Tk+1为有理项，0k8且kZ,k=0，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是T1=x4，T5=x，T9=x-2.n=8，展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5=x.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数k+1，代回通项公式即可.,探究提高,知能迁移1已知的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.解由题意知，22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,2n=32,解得n=5.（1）由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即=252.,（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，rZ，r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4=-27x4=-15360 x4.,题型二求展开式中各项系数之和【例2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.因为求的是展开式的系数和,所以可用赋值法求解.解令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37,思维启迪,(1)a0=1,a1+a2+a3+a7=-2.(2)(-)2,得a1+a3+a5+a7=-1094.(3)(+)2,得a0+a2+a4+a6=1093.(4)(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),=1093-（-1094）=2187,探究提高本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法.对形如（ax+b）n、（ax2+bx+c）m（a，b，cR,m,nN*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n（a，bR，nN*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+=,知能迁移2设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+a100 x100,求下列各式的值：(1)a0;(2)a1+a3+a5+a99;(3)(a0+a2+a4+a100)2-(a1+a3+a99)2;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a100|.解（1）方法一由（2-x）100展开式中的常数项为2100，得a0=2100.方法二令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1,得a0+a1+a2+a99+a100=(2-)100令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+)100,联立得a1+a3+a99=(3)原式=（a0+a2+a100）+（a1+a3+a99）（a0+a2+a100）-（a1+a3+a99）=（a0+a1+a2+a100）(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.(4)展开式中，a0,a2,a4,a100大于零，而a1,a3,a99小于零，原式=a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100=(2+)100.,题型三二项式定理的综合应用【例3】（12分）（1）求证：46n+5n+1-9是20的倍数（nN*）；（2）今天是星期一，再过3100天是星期几？（1）将6n化为（5+1）n，5n+1化为5(4+1)n利用二项式定理展开，提取公因数20.（2）3100被7除余几？关键是如何产生7.3100=950=（7+2）50；250=4816=4（7+1）16.（1）证明（运用二项式定理证）46n+5n+1-9=4(5+1)n+5（4+1）n-93分=4-9,思维启迪,解题示范,故结论成立.6分（2）解3100=950=（7+2）50=75020+74921+7249+70250=7Mn+250，(MnN*），9分又250=2316+2=4816=4(1+7)16=4(+7+72+716)=4+7Nn(NnN*),3100被7除余数是4，故再过3100天是星期五.12分,探究提高用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了.同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换.,知能迁移3求证：（1）32n+2-8n-9能被64整除（nN*）；（2）3n(n+2)2n-1（nN*，n2）.证明（1）32n+2-8n-9=3232n-8n-9=99n-8n-9=9（8+1）n-8n-9=9（8n+8n-1+8+1）-8n-9=9（8n+8n-1+82）+98n+9-8n-9=982（8n-2+8n-3+）+64n=649（8n-2+8n-3+）+n，显然括号内是正整数，原式能被64整除.,（2）利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明.因为nN*，且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.（2+1）n=2n+2n-1+2+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1,故3n(n+2)2n-1.,方法与技巧1.通项公式最常用，是解题的基础.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.,思想方法感悟提高,4.性质1是组合数公式的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.,失误与防范1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.3.通项公式是第r+1项而不是第r项.,一、选择题1.（2009重庆）(x2+)8的展开式中x4的系数是（）A.16B.70C.560D.1120解析设二项式展开式的第r+1项含有x4,则Tr+1=(x2)8-r（）r.16-2r-r=4,r=4.x4的系数为24=1120.,D,定时检测,2.在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项解析Tr+1=故当r=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.,C,3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A.-7B.7C.-28D.28解析只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n=8，当r=6时为常数项，T7=7.,B,4.展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（）,解析T3=10 xy=10，得y=，且x0,故选D.答案D5.已知展开式中常数项为1120，其中实数a为常数，则展开式中各项系数的和为（）A.28B.38C.1或38D.1或28,解析Tk+1=为常数项,k=4且（-a）4=1120，a4=16，a=2,当a=2时，令x=1,得各项系数和为(1-)8=1；当a=-2时，令x=1，得各项系数和为(1+)8=38.答案C,6.的值为（）A.2nB.22n-1C.2n-1D.22n-1-1解析（1+x）2n=令x=1得再令x=-1得两式相加，再由=1，得,D,二、填空题7.已知n为正偶数，且（x2-）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是.（用数字作答）解析n为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n=6，第4项系数为,8.在（1-x3）(1+x)6的展开式中，x5的系数为.（用数字作答）解析因为(1+x)6的通项是Tr+1=xr,令r=5得T6=x5;令r=2得T3=x2,所以（1-x3）(1+x)6展开式中x5的系数为-=-9.,-9,9.（2009全国）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.解析(x-y)10的展开式中含x7y3的项为x10-3y3(-1)3=-x7y3,含x3y7的项为x10-7y7(-1)7=由=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.,-240,三、解答题10.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.解（1）通项公式为Tr+1=，第6项为常数项，r=5时，有=0，即n=10.,（2）令=2,得r=(n-6)=2,所求的系数为Z,0r10,rZ,令=k(kZ),则10-2r=3k，即r=5-k.rZ，k应为偶数.k可取2,0,-2，即r可取2,5,8.第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为,（3）根据通项公式，由题意得,11.已知展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来.解Tr+1=（r=0，1，2，n），由题意得1+2n+2（n-1）n=129，n2=64,n=8.,故Tr+1=（r=0，1，2，8）.若展开式存在常数项，则=0，72-11r=0，r=N，展开式中没有常数项.若展开式存在一次项，则=1,72-11r=6,r=6,展开式中存在一次项，它是第7项，T7=26x=1792x.,12.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中x的系数为11.（1）求x2的系数的