（江西专用）2014年高考数学一轮复习 6.1 不等式性质与基本不等式课件 文 新人教A版

6.1不等式性质与基本不等式,一、不等式性质,1.如果ab,那么bb.,2.如果ab且bc,那么ac.,3.如果ab,那么a+cb+c.(加法性质),4.如果ab且c0,那么acbc;如果ab且cd,那么a+cb+d.,6.如果ab0,cd0,那么acbd.,7.如果ab0,那么anbn(nN且n2).,8.如果ab0,那么(nN且n1).,二、重要不等式,a2+b22ab,当且仅当a=b时取得“=”.,三、基本不等式,1.若a、bR+,则a+b2,当且仅当a=b时取得“=”.,2.算术平均数与几何平均数:设a,b为正数,则称为a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数.,3.用基本不等式求最值时注意三个条件:“一正,二定,三相等”.,4.基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高,如图所示.,四、极值定理,1.若积xy=p(定值),则和x+y有最小值2,当且仅当x=y时,取“=”;,2.若和x+y=s(定值),则积xy有最大值,当且仅当x=y时,取“=”.,即:“积为常数,和有最小值;和为常数,积有最大值”.,1.a,b为非零实数,且ab,则下列不等式成立的是(),(A)a2b2.(B)a2bab2.,(C)ba.(B)bac.,(C)abc.(D)bca.,【解析】c=elnx=x(e-1,1),b=()lnx(1,2),a=lnx(-1,0),所以bca.,【答案】D,3.已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是.,【解析】由log2(m-2)+log2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4,则m=+2,所以m+n=+2+n=+(n-1)+32+3=7(当且仅当“n=3”时,取等号),故m+n的最小值为7.,【答案】7,题型1比较大小,例1(1)已知实数x满足x2+x0,则x2,x,-x的大小关系是(),(A)-xxx2.(B)x-xx2.,(C)x2x-x.(D)xx2-x.,(2)已知0ab1,设x=logba,y=loga,z=logb,则(),(A)yxz.(B)yzx.,(C)xzy.(D)zyx.,【分析】(1)根据不等关系确定x的范围,然后作差确定三个数的大小关系.,(2)要比较指数式或对数式的大小,应首先把底数化成同一个数,然后利用指数(或对数)函数的单调性,有时还要选取中间量或近似值比较大小.,0x21,0-x1,又x2-(-x)=x2+x0,x2-x,故xx2loga=-1,y=logaloga1=0,即-1y0;z=logblogb=-1,所以zyx.,【答案】(1)D(2)D,【解析】(1)x2+x0,-1x0,较;(2)找中间量,往往是1(或0);(3)特殊值;(4)构造函数,利用函数的单调性等.,【点评】数的比较大小除了利用不等式性质,还有如下几种方法:(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比,变式训练1(1)设0ba1,则下列不等式成立的是(),(A)abb21.(B)lobloa0.,(C)2b2a2.(D)a2loga(1+).,【答案】(1)C(2)loga(1+a)loga(1+),【解析】(1)y=2x是单调递增函数,且0ba1,2b2a21,即2bb.,(B)若ab,则b,cd,则a-cb-d.,(D)若ab0,ac,则a2bc2c20ac2bc2,又0ab,正确;,B中可取特殊值:a=3,b=-2,有,错误;,C中可取特殊值:a=5,b=1,c=2,d=-3,有a-cab,又abbca2bc,错误.,(2)设2-=m(+)+n(-),(+)2,-3(-)-,-2-.,【答案】(1)A(2)-,【点评】(1)在不等式的这些性质中,乘(除)法性质的应用最容易出错,所以在利用不等式性质推证不等式时,要紧扣不等式性质成立的条件.(2)的出错点在于求出、范围,再求2-的范围,因为、是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,当+取到最大值或最小值时,-不一定能取到最值,所以用以上方法可能扩大变量的范围.本题也可用线性规划知识求解.,变式训练2(1)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:,若ab0,则-0;,若ab0,-0,则bc-ad0;,若bc-ad0,-0,则ab0.,其中正确命题的个数是(),(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.,(2)若f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4,则f(-2)的取值范围是.,【解析】(1)ab0,0,(bc-ad)0,ab(-)0,即bc-ad0.故正确;,-0,0.又bc-ad0,ab0.故正确.,(2)f(-1)=a-b,f(1)=a+b,设f(-2)=4a-2b=Af(-1)+Bf(1),则f(-2)=3f(-1)+f(1).,2f(1)4,1f(-1)2,33f(-1)6,5f(1)+3f(-1)10,5f(-2)10.,【答案】(1)C(2)5,10,题型3基本不等式,例3(1)命题:任意x0,lgx+2;任意xR,ax+2(a0且a1);任意x(0,),tanx+2;任意xR,sinx+2.其中真命题有(),(A).(B).,(C).(D).,(),(A)8.(B)4.(C)1.(D).,【分析】(1)验证是否满足应用基本不等式的三个条件.,(2)根据是3a与3b的等比中项,构造实数a、b之间的关系,然后转化为基本不等式求解.,【解析】(1)任意xR+,无法确定lgx0,错误;任意xR,ax0,ax=1,ax=x=0,满足三个条件,正确;任意x(0,(2)设a0,b0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为,),tanx0,tanx=1,tanx=x=,满足三个条件,正确;任意xR,无法确定sinx0,错误.,(2)3a3b=3,a+b=1,+=(a+b)(+)=2+2+2=4,当且仅当=即a=b=时“=”成立,故选B.,【答案】(1)C(2)B,【点评】(1)在应用基本不等式时,我们要注意三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”.一“正”即基本不等式成立的条件是任意的正实数a,b.二“定”即基本不等式在应用时,必须“两数和”或“两数积”为定值.三“相等”即基本不等式中等号成立的条件是a=b,一定要加以验证判断等号能否取到.(2)当基本不等式的乘积不是定值或和不是定值时,我们可以进行配凑.如(2)题“知两数和”求“两倒数和”的最值时,我们一般要通过乘“1”来配凑,创造基本不等,式的三个条件.本题也可以两次利用基本不等式,以为桥梁,求出最值.但是需要注意两次利用基本不等式时,验证“等号”能否同时取到.,变式训练3已知a0,b0,则+2的最小值是(),(A)2.(B)2.(C)4.(D)5.,【解析】+22+24,当且仅当a=b,=1时,等号成立,即a=b=1时,不等式取最小值4.,【答案】C,题型4基本不等式在生活中的应用,例4某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其他费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5),其他费用为每小时800元,且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.,(1)请将从甲地到乙地的运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数;,(2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?,【分析】根据运输成本由燃料费用和其他费用组成,分别利用变量x表示出两费用,将运输成本y(元)表示为航行速度x(海里/小时)的函数,然后利用基本不等式求出函数最值.,【解析】(1)由题意,每小时的燃料费用为0.5x2(0x50),从甲地到乙地所用的时间为小时,则从甲地到乙地的运输成,本y=0.5x2+800(00,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值.,【错解】(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.,【剖析】上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b22ab,第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=,显然,这两个条件是不能同时成立的.因此,8不是最小值.,【正解】原式=a2+b2+4,=(a2+b2)+(+)+4,=(a+b)2-2ab+(+)2-+4,=(1-2ab)(1+)+4.,由ab()2=,得1-2ab1-=,且16,1+17,原式17+4=(当且仅当a=b=时,等号成立),(a+)2+(b+)2的最小值是.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)“a1”是“1可得1或a1”是“1”成立的充分不必要条件.,【答案】B,2.(基础再现)把下列各题中的“=”全部改成“”,结论仍然成立的是(),(A)如果a=b,c=d,那么a-c=b-d.,(B)如果a=b,c=d,那么ac=bd.,(C)如果a=b,c=d,且cd0,那么=.,(D)如果a=b,那么a3=b3.,【解析】根据函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增,可得当a0时,+2.,(C)当x2时,x+的最小值为2.,(D)当00不恒成立,因此lgx+2,4.(基础再现)若0,则下列结论不正确的是(),(A)a2b2.(B)ab2.(D)+(0.2)a.,(B)(0.2)a()a2a.,(C)()a(0.2)a2a.,(D)2a(0.2)a()a.,【解析】根据a1,()a1,2a()a.,【答案】B,6.(基础再现)若a2b2,且ab0,则与的大小关系为.,【解析】根据ab0得0,根据不等式性质,在a2b2两侧同乘以得2ab,a+ba2+b2,最大的一个是a+b.,【答案】a+b,8.(视角拓展)在算式“9+1=48”中的,中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个数构成的数(,)应为.,【答案】(4,12),【解析】设填入的两数为x,y,因此9x+y=48,+=+=+,因此当=,即y=3x时取得最小值,即(,)应为(4,12).,9.(高度提升)三个数a,b,c成等比数列,若a+b+c=1,则b的取值范围为.,【解析】由a,b,c成等比数列可知:b2=ac,a+b+c=1,a+c=1-b,故(1-b)2=(a+c)2=a2+c2+2ac4ac=4b2,即3b2+2b-10,解得-1b,又a,b,c成等比数列,故b0,b-1,0)(0,.,【答案】-1,0)(0,10.(基础再现)已知cab0,求证:.,【解析】cab0,c+ac+b0,0,(c+a)(c+b)0,即0.,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),又ab0,.,11.(高度提升)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支