大学高等数学ppt课件第一章2极限

极限,第二节,学习重点,利用两个重要极限计算极限,无穷小的概念及其比较,理解极限的概念，掌握极限的运算法则,极限思想,一尺之棰，日取其半，万世不竭,剩余长度依次为,1，,不为零，但无限接近零,1/2，,1/4，,1/8，,1/16，,1/32，,我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：,在中国古代的萌芽和应用,刘徽割圆术,割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣,数列的概念,数列就是指按自然数编了号的一列数,记为an,其中an称为该数列的通项。,2，4，8，.,2n，.,几个数列的例子:,数列的极限,随着项数n的增大，an越来越接近A,（不够确切）,n充分大时，an的值可以无限逼近A,（定性描述）,（精确定义）,下面逐步给出极限的定义,设有数列an和常数A，如果对任意给定的正数，总存在一个正整数N，使得对于nN时的一切an，总有,成立，则称常数A是数列an的极限，或称数列an收敛于A,或,如果数列没有极限，就称数列是发散的。,记作,数列极限举例,求下列极限：,类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。,对于数列极限,故,很自然地,函数的极限,相似地,相似地，可定义单侧情形：,自变量趋于无穷大时函数的极限,即,观察y=arctanx的图像,从图像容易看出结果,所以,考虑函数f(x)=ax,分a1,0a1两种情形下，分别求x+,x，x时f(x)的极限。,思考,由题设知，分子必须是x的零次多项式,解答,邻域（neighborhood）的概念,自变量趋于有限值时函数的极限,自变量趋于有限值时函数的极限,即,注意事项：（1）定义中xa的过程中,xa成立。,函数极限的几何解释,（3）极限值与函数值无关。,（2）,左极限left-handlimit,右极限right-handlimit,x仅从a的左侧趋于a，,记作,或,x仅从a的右侧趋于a，,记作,或,左极限与右极限,考虑符号函数,现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(x)的极限,右极限,左极限,从右边趋于0,从左边趋于0,左右极限不相等,例题,函数极限的性质,局部保号性,局部有界性,设,计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。,初等函数的极限性质,如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）,无穷小举例,无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。,都是无穷小量,是无穷小量,是无穷小量,与,与,无穷小,无穷小与自变量的变化过程有关，如时是无穷小，但时，则不是无穷小。,推论：（1）有限个无穷小之和仍是无穷小；（2）常数与无穷小的乘积是无穷小；（3）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,例如，因为,所以,有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。即,同理,即,其中,极限与无穷小的关系,两个无穷小的和或差，仍是无穷小。,无穷小的性质,如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。,只有一种趋势,包括两种趋势,如,无穷大,观察函数y=1/x的图像,再考察函数y=lnx,注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。,无穷小和无穷大的关系,在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。,无穷小和无穷大的运算法则,以下A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数,结果不定，称为未定式,极限的四则运算法则,复合函数的极限运算法则,幂指函数的极限运算法则,因式分解消除零因子,有理化消除零因子,消除零因子,夹逼准则,单调有界原理,极限存在准则,两个重要极限,单调有界数列必有极限,.,对于其它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则,利用这两个准则可以分别证明这两个公式,由x0得3x0即u0,重要极限的应用举例,重要极限,练一练,例,重要极限的应用举例,公式特点：,练一练,定义,无穷小的比较,例,比较下列两个无穷小,低阶,高阶,同阶,练一练,无穷小的阶揭示了无穷小趋向于零的速度快慢程度：高阶的较快，低阶的较