丁玉美-数字信号处理-第8章-其它类型的数字滤波器概要.ppt

第8章其它类型的数字滤波器,8.1几种特殊的滤波器8.2格型滤波器8.3简单整系数数字滤波器8.4采样率转换滤波器,8.1几种特殊的滤波器,8.1.1全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，即|H(ej)|=1,02(8.1.1)则该滤波器称为全通滤波器。全通滤波器的频率响应函数可表示成H(ej)=ej()(8.1.2),全通滤波器的系统函数一般形式如下式：,(8.1.3),或者写成二阶滤波器级联形式：,(8.1.4),下面证明(8.1.3)式表示的滤波器具有全通幅频特性。,(8.1.5),式中，,由于系数ak是实数，所以,图8.1.1全通滤波器一组=零极点示意图,观察图8.1.1，如果将零点zk和极点p*k组成一对，将零点z*k与极点pk组成一对，那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现，即如果z-1k为全通滤波器的零点，则z*k必然是全通滤波器的极点。因此，全通滤波器系统函数也可以写成如下形式：,(8.1.6),8.1.2梳状滤波器例如，,0a1，零点为1，极点为a,所以H(z)表示一个高通滤波器。以zN代替H(z)的z，得到：,(8.1.7),图8.1.2梳状滤波器的零极点分布和幅频响应特性(N=8),8.1.3最小相位系统最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点。(1)任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成，即H(z)=Hmin(z)Hap(z)(8.1.8)证明假设因果稳定系统H(z)仅有一个零点在单位圆外，令该零点为z=1/z0,|z0|1,则H(z)可表示为,(8.1.9),(2)在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟(负的相位值)最小。高阶全通系统总可以由一阶和二阶全通系统函数相乘来表示。一阶和二阶全通系统的系统函数分别如(8.1.10)和(8.1.11)式：,对(8.1.10)式，,(8.1.10),(8.1.11),其中a为实数，且|a|1；,图8.1.3一阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由于上式中分数部分的分子、分母是共轭的，因此相角相反，所以argHap(ej)=-2arg(ej-a)对0，关于arg(ej-a)作图如图8.1.3所示，图中=arg(ej-a)。;由图8.1.3可见，,对(8.1.11)式，,故,画出上式中的各相角如图8.1.4所示。图中1=arg(ej-a)，2=arg(ej-a*)。由图可看出，,根据三角形外角大于内角的定理有,图8.1.4二阶全通系统具有非正=相位的几何证明图,由(8.1.8)式有,由初值定理可得出,由于,对因果稳定系统，|ai|1,所以|h(0)|hmin(0)|(8.1.12)(8.1.12)式说明，在幅频特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统对(n)的响应波形延迟最小。如果定义h(n)的积累能量E(m)为,则最小相位系统的最小能量延迟可用(8.1.13)式，即。,由于|H(ej)|=|Hmin(ej)|,即,由parseval定理有,(3)最小相位系统保证其逆系统存在。给定一个因果稳定系统H(z)=B(z)/A(z)，定义其逆系统为,(8.1.14),8.2格型滤波器,8.2.1全零点格型滤波器一个M阶的FIR滤波器的系统函数H(z)可写成如下形式：,(8.2.1),其中，b(i)M表示M阶FIR滤波器的第i个系数，并假设首项系数b0=1。H(z)对应的格型结构如图8.2.1所示。,图8.2.1全零点格型滤波器网络结构,图8.2.2全零点格型结构=基本单元,下面推导由H(z)=B(z)的系数bi求出格型结构网络系数ki的逆推公式。图8.2.2所示基本格型单元的输入、输出关系如下式：em(n)=em-1(n)+rm-1(n-1)km(8.2.2a)rm(n)=em-1(n)km+rm-1(n-1)(8.2.2b)且e0(n)=r0(n)=x(n)(8.2.2c)y(n)=em(n)(8.2.2d),设Bm(z),Jm(z)分别表示由输入端x(n)至第m个基本单元上、下输出端em(n)、rm(n)对应的系统函数，即,(8.2.3a),(8.2.3b),当m=M时，Bm(z)=B(z)。对(8.2.2)式两边进行Z变换得,(8.2.4a),(8.2.4b),对(8.2.4a)和(8.2.4b)式分别除以E0(z)和R0(z)，再由(8.2.3a)和(8.2.3b)式有,(8.2.5),(8.2.6),由(8.2.3)式有B0(z)=J0(z)=1,所以,令m=2,3,:,M，可推出,(8.2.7),将上式分别代入(8.2.5)和(8.2.6)式得,(8.2.8a),(8.2.8b),下面导出km与滤波器系数b(m)m之递推关系。将(8.2.3a)式代入(8.2.8a)及(8.2.8b)式，利用待定系数法可得到如下两组递推关系：,(8.2.9),(8.2.10),例8.2.1FIR滤波器由如下差分方程给定：,求其格型结构系数，并画出格型结构图。解对差分方程两边进行Z变换的H(z)=B3(z)：,图8.2.3H(z)的格型结构流图,8.2.2全极点(IIR)格型滤波器IIR滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR格型结构开发。设一个全极点系统函数由下式给定：,(8.2.12),图8.2.4全极点(IIR)滤波器格型结构,例8.2.2设全极点IIR滤波器系统函数为求其格型结构网络系数，并画出格型结构。,解,由例8.2.1所求FIR格型结构网络系数：,图8.2.5例8.2.2中的IIR格型结构,8.3简单整系数数字滤波器,8.3.1建立在多项式拟合基础上的简单整系数滤波器1.多项式拟合的基本概念设序列x(n)中的一组数据为x(i),i=-M,:,0,:,M，我们可以构造一个p阶多项式fi来拟和这一组数据x(i):,总的拟合误差为,(8.3.1),(8.3.2),为了使拟合满足最小均方误差准则，令E对各系数的导数为零，即令,则(8.3.3)式可写成如下形式：,(8.3.3),(8.3.4),2.最佳拟合模板与简单整系数FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)在实际应用中，并不将fi的p+1个系数全求出来，而是只求出a0,就可实现对x(n)的最佳拟合。由(8.3.1)式可知，例如，当M=2,p=2时，为五点二次(抛物线)多项式拟合。据(8.3.4)式，并考虑当k+r=奇数时sk+r=0，有,(8.3.5),其中，代入上式可得,(8.3.6),(8.3.7),(8.3.8),图8.3.1低通滤波器幅频特性(a)M=2,p=2;(b)M=3,p=3,8.3.2建立在零极点对消基础上的简单整系数滤波器如前所述，在单位圆上等间隔分布N个零点，则构成“梳状滤波器”。如果在z=1处再设置一个极点，对消该处的零点，则构成低通滤波器，其系统函数和频率响应函数分别为,(8.3.9a,(8.3.9b),图8.3.2低通滤波器零、极点分布及幅频特性(N=10)(a)(8.3.9a)式的零、极点分布图；(b)(8.3.9b)式的幅频特性,基于同样的思想，在z=-1处设置一个极点对消该处的零点，则构成高通滤波器，其系统函数及频率响应函数分别为,(8.3.10a),(8.3.10b),图8.3.3高通滤波器零、极点分布及幅频特性(a)(8.3.10a)式零、极点分布；(b)幅频特性,假设我们要求带通滤波器的中心频率为0，00sa2/2时，抽取前后信号的时域和频域关系示意图,图8.4.8在csa2/2时，抽取前后信号的时域和频域关系示意图,例8.4.1一整数倍抽取系统如图8.4.9所示，试求输出序列y(n2T2)。解设输入序列x(n1T1)是已知的，且设抽取后信号的采样率仍满足采样定理。,图8.4.9整数倍抽取系统,图中x0(n1T1)=x(n1T1)x1(n1T1)=x(n1-1)T1所以y0(n2T2)=y0(n2DT1)=x0(n2DT1)y1(n2T2)=y1(n2DT1)=x1(n2DT1)=x(n2D-1)T1故y2(n2T2)=y0(n2T2)+y1(n2T2)=x(n2DT1)+x(n2D-1)T1,8.4.2信号的整数倍内插1.整数倍内插的概念与内插方法从理论上讲，可以对已知的采样序列x(n1T1)进行D/A转换，得到原来的模拟信号x(t)，然后再对x(t)进行较高采样率的采样得到y(n2T2)，这里T1=IT2(8.4.17),图8.4.10内插概念示意图,图8.4.11零值内插方案的系统框图图8.4.12内插过程中的各序列,2.整数倍内插的频域解释为了回答上面的问题，我们设x(n1T1)为模拟信号x(t)的采样序列，并假定x(t)及其傅里叶变换X(j)如图8.4.13所示。,图8.4.13x(t)和X(j)的示意图,图8.4.14x(n1T1),y(n2T2)和I=3,下面分析图8.4.11中v(n2T2)的频谱，最后讨论为了得到满足插值要求的y(n2T2)(如图8.4.14所示)，对h(n2T2)的技术要求。,其它,(8.4.18),(8.4.19),图8.4.15和频谱图(I=3),图8.4.16低通滤波器的理想幅频特性,3.内插器的输入、输出关系1)时域输入、输出关系由图8.4.11，有,及,其它,所以,(8.4.21),2)频域输入、输出关系,(8.4.22),(8.4.23),由(8.4.19)式知道,所以,在复频域分析图8.4.11时，其输入x(n1T1)的Z变换X(z1)与输出y(n2T2)的Z变换Y(z2)的关系推导如下：,(8.4.24),(8.4.25),为I的整数倍即,所以,(8.4.26)式中所有变量都为z2,所以可去掉下标得,(8.4.26),(8.4.27),4.整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用1)数字语音系统中信号的采样过程及存在的问题。2)数字语音系统中改进的A/D转换方案,图8.4.17语音信号的一般采样过程,图8.4.18数字语音系统的改进A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱,图8.4.18数字语音系统的改进A/D转换器方案及其各点信号波形与相应频谱,图8.4.19改进的D/A转换方案框图,对(n1T1)进行D/A变换，得到：,时,时,图8.4.20(n2T2)及(n1T1)的时域和频域表示,图8.4.21(t)的时域和频域表示,图8.4.22模拟低通滤波器幅频特性要求,图8.4.23恢复模拟信号及其频谱,8.4.3多采样率FIR系统的网络结构1.整数倍抽取器的FIR直接实现整数(D)倍抽取器框图如图8.4.24所示。抗混叠低通滤波器用FIR结构时，抽取器的时域输入、输出关系为(设h(rT1)长度为N),(8.4.29),(8.4.30),图8.4.24D倍抽取器框图,图8.4.25D倍抽取器的FIR直接实现,图8.4.26等效变换后D倍抽取器的FIR直接实现,图8