一元多项式的定义和运算讲解.ppt

第二章多项式,2.1一元多项式的定义和运算2.2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解2.5重因式2.6多项式函数多项式的根2.7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式,2.1一元多项式的定义和运算,一、内容分布,2.1.4多项式的运算,二、教学目的,掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.,三、重点、难点,一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。,2.1.1认识多项式,2.1.2相等多项式,2.1.3多项式的次数,2.1.5多项式加法和乘法的运算规则,2.1.6多项式的运算性质,2.1.1认识多项式,多项式,令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式,在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1，那么这个系数可以省略不写。,2.1.2相等多项式,定义,若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等.f(x)=g(x),2.1.3多项式的次数,的次数.记作,注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式，记为0.,2.1.4多项式的运算,多项式的加法,给定数环R上两个多项式,且mn,f(x)和g(x)的加法定义为,这里当m0)次多项式可以在Cx里分解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的.,把等式两端都换成它们的共轭数,得,若是是f(x)的重根,那么它一定是h(x)的根,因而根据方才所证明的,也是h(x)的一个根.这样也是的重根.重复应用这个推理方法,容易看出,的重数相同.,2.8有理数域上多项式,一.内容分布,2.8.1本原多项式及高斯引理,2.8.2艾森斯坦差别法,2.8.3求整系数多项式在理根,二.教学目的,1.掌握本原多项式概念及高斯引理,2.熟悉运用艾森斯坦差别法,3.掌握求整系数多项式的有理根,三.重点、难点,艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法.,这个等式的左端p整除.根据选择的条件,所有系数都被p整除.因此乘积也须被p整除.但p是一个素数,所以p必须整除.这与假设矛盾.,令的系数的最大公因数是那么,这里是一个有理数而是一个本原多项式.同理,这里是一个有理数而是一个本原多项式.于是,其中r与s是互素的整数,并且s0.由于f(x)是一整系数多项式,所以多项式的每一系数与r的乘积都必须被s整除.但r与s互素,所以的每一个系数必须被s整除,这就是说,s是多项式的系数的一个公因数.但是一个本原多项式,因此,显然各与有相同的次数,这样,f(x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积.,定理2.8.3(Eisenstein判断法),是一个整系数多项式.若是能够找到一个素数p,使,(i)最高次项系数不能被p整除,(ii)其余各项的系数都能被p整除,(iii)常数项不通被整除,那么多项式f(x)在有理数域上不可约.,证若是多项式f(x)在有理数域上可约,那么由定理2.8.2,f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:,这里,并且kn