概率论和数理统计-参数估计点估计PPT课件

-,1,一、矩估计法,1、方法思想,1,将要估计的总体参数表示成总体X的矩的函数，然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计。-这种估计方法称为矩估计法。,例1已知总体的概率密度为试由样本(X1,X2,Xn)估计参数。,分析：,1、参数与总体的矩有什么关系？,计算E(X)不难得到：,2、如何利用样本来估计E(X)，进而估计参数？,用样本均值（一阶矩）来估计E(X)！,也可以建立参数与E(X2)的关系,-,2,2,一般地，若总体X的概率分布含有k个未知参数1,2,k,则总体X的l阶（原点）矩l存在，且应为1,2,k的函数：l=l(1,2,k),2、理论依据,用相应的样本矩Al估计l，得,用样本的矩来推断总体相应的矩，其理论依据为“大数定律”若总体X的k阶（原点）矩k存在，则当样本容量n充分大时，样本的k阶矩Mk依概率收敛于k。,3、方法步骤,1）建立待估参数与总体的矩之间的关系式；2）解方程组，解得参数用总体矩表示的关系式。3）用相应的样本矩做总体矩的估计量，代入关系式得到的估计量。代入样本值得到的估计值。,此方程组的解，,就称为参数1,2,k的矩估计量。,-,3,例2设灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下（单位：小时）：1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200;试估计该批灯泡的平均寿命及寿命分布的标准差。,3,析：,而D(X)=E(X2)-E2(X),需要估计的是总体的均值和标准差；,其中本身就是总体的一阶矩；而标准差呢？,它们与总体的（原点）矩之间的关系？,用相应的样本矩取代总体矩得到估计量：,或者：D(X)就是总体的二阶中心矩！,-,4,4,例3设总体X服从a,b上的均匀分布，a,b未知.X1,X2,Xn是来自总体X的样本，试求a,b的矩估计量.,析：,待估参数与总体的（原点）矩之间有何关系？,如何得到估计量？,对于均匀分布而言，我们熟知：,思考,该题做法唯一吗？,-,5,二、最大似然估计,1、基本原理,5,若在一次观察中一个事件出现了，那么此事件的概率应该较大。,思考：,有一个事件A，如果我们只知道它发生的概率P(A)有三种可能：0.1、0.6和0.99；在一次观测中，这一事件确实发生了，此时我们应当倾向于认为P(A)=?,若A发生的概率有更多种可能的选择呢？,当我们用样本估计总体的参数时，应让参数取能使所观测到的样本出现的概率最大的那个值。,-,6,6,2、基本思想,设总体X的分布已知，记为f(x,)（若X为离散型随机变量，则f(x,)为PX=x），其中为待估参数，则总体X的样本(X1,X2,Xn)的联合概率密度为,对应具体的一次样本实现（x1,x2,xn），记,称L()为似然函数;,L()描述了样本(X1,X2,Xn)取值为（x1，x2，xn）的可能性大小！,依“基本原理”,此时的L()应当取到的是最大值.故的值应当是使得L()取到最大值的点。,-这种求参数估计值的方法，就称为最大似然估计法。,由此方法而求出的参数的估计值，称为的最大似然估计值，相应的估计量为最大似然估计量。,-,7,3、方法步骤,写出似然函数L()；求似然函数L()的最值（极值）。（注：通常转为求LnL()的极值更方便）,7,例4已知Xb(1,p),(X1,X2,Xn)为一个样本，求p的最大似然估计量。,解：,故p的最大似然估计量为,X的分布率为,PX=x=px(1-p)1-x，x=0，1，,故似然函数,把分布率写成这种形式很必要！,-,8,8,说明：最大似然估计法可推广至分布中含有多个未知参数的估计。,解:,似然函数为,得最大似然估计值为,X的概率密度为,例5设总体XN(，2),2均未知,(x1,x2,xn)为X的样本值,求,2的最大似然估计值.,-,9,9,例6已知总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。,析：,X的概率密度为,似然函数为,无解！,基于已有的样本(X1,X2,Xn)，b-a能任意的小吗？,-,10,10,解：,似然函数为,若将x1,x2,xn按由小到大重新排序，记为,例7已知总体X在a,b上服从均匀分布，a,b未知(X1,X2,Xn)是一个样本。试求a,b的最大似然估计量。,-,11,11,例8设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,X的密度函数为,其中0,求的矩估计.,解得,用样本矩代替