Z变换理论PPT课件

-第七章线性离散系统的分析与校正,Z变换,一、Z变换的定义,对其进行拉氏变换：,此式称为采样函数的Z变换。,-第七章线性离散系统的分析与校正,二、Z变换的方法,1、级数求和法,例求1*（t）的Z变换。,例2求的F(Z)。,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,2、部分分式法,例8-3求解的Z变换。,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,例求,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,3、留数计算法,设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点已知,则可用留数计算法求Z变换,当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为,当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,解:,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,解:,两阶重极点!,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,常用函数的Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,三、Z变换的基本定理,1、线性定理2、滞后定理3、初值定理4、终值定理5、超前定理6、复数偏移定理7、卷积和定理,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,1、线性定理,设：,则：,函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。,2、滞后定理,设在t0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则,原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,3、初值定理,设函数f(t)的Z变换为F（z），并且,存在，则,4、终值定理,设函数f(t)的Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有,经常用于分析计算机系统的稳态误差！,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,5、超前定理,设函数f(t)的Z变换为,则：,若,则：,6、复数偏移定理,设函数f(t)的Z变换为F（Z），则,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,7、卷积和定理,设：,式中：,为正整数，当n为负数时,则有：,式中：,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,四、Z反变换,Z反变换是已知Z变换表达式F（Z）f(nT)的过程,只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！,求解方法：长除法、部分分式法、留数法。,1、长除法（幂级数法）,要点：将F（Z）用长除法变化为降幂排列的展形式。,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,Z反变换为,也即：,例求,的Z反变换,解：,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,1.部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：先将变换式写成,，展开成部分分式，,查Z变换表,两端乘以Z,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,例求,的Z反变换,解：,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,3.留数法（反演积分法）,函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数,曲线C可以是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线,若Zi为一重极点,若Zi为q重极点,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,例求,的Z反变换,解：,有两个一重极点,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,例求,的Z反变换,解：,有一个两重极点,Z变换,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的数学模型,数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式,脉冲传递函数：在零初始条件下,-第七章线性离散系统的分析与校正,实际开环离散系统的脉冲传递函数：,在输出端增设虚拟采样开关,脉冲传递函数G(z)的求法,连续系统的传递函数G(s)脉冲响应函数g(t)按采样周期离散化g*(t)Z变换G(z),对于虚拟采样开关的输出，相应的脉冲响应,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,对上式取L变换后：,令,记为：,例3求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。,由实数位移定理：,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,例4,开环系统脉冲传递函数,采样L变换的两个重要性质：（1）采样函数的L变换具有周期性,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,（2）,具有串联环节的开环脉冲传递函数,串联形式（1）,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,连续对象的输出：,其中：,对输出的离散化：,注意：一般,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,串联形式（2）,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,带有零阶保持器的开环脉冲传递函数,离散化后：,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,例设对象传递函数,求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,当为有理分式函数时，上式的Z变换也必然是的有理分式函数。,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,闭环系统脉冲传递函数,连续输出信号的L变换,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,对应的Z变换为,闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数：,系统误差对于输入的脉冲传递函数：,闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数：,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。,闭环系统中，具有两个不同以上采样开关时的闭环脉冲传递函数：,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,对应的闭环系统脉冲传递函数,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,闭环系统中采样开关的位置，有可能不能获得闭环脉冲传递函数：,系统输出,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,Z变换的局限性：（1）Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大时间常数相比很小时，Z变换才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采样时刻的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。（3）用Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高2次，这时用Z变换方法得到的结果是正确的。,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,例如：设R-C电路如图，输入相当于是脉冲序列,采样周期T=1秒，对应的Z变换,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,设输入信号为单位阶跃函数,但实际上，电路的实际输出是作用下的输出，c(t)表现为充放电过程，如p.314图7-30所示。,解决方法：修正Z变换法,离散系统的数学模型,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的稳定性与稳态误差,离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在s平面上分析稳定性的结果离散线性系统在z平面上的稳定性。,1.s域到z域的映射关系,-第七章线性离散系统的分析与校正,相当于取s平面上的虚轴映射到z平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,结论：s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。,离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。,离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。,线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半s平面。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,设：系统差分方程,系统齐次方程,设通解：,系统特征方程：,（1）离散系统稳定的充要条件（时域）,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,设特征方程具有各不相同的特征根：,通解：,系统稳定的充分必要条件：,相应的线性定常离散系统是稳定的。,-第七章线性离散系统的分析与校正,（2）离散系统稳定的充要条件（z域）,对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为,系统特征方程,-第七章线性离散系统的分析与校正,设特征方程的根（闭环极点）各不相同,由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部；s平面的右半平面对应的不稳定区域：z平面上单位圆的外部；s平面的虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。,系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,例：设典型离散系统,采样周期T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。,解：开环脉冲传递函数,特征方程,结论：闭环系统不稳定。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的稳定性判据,连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据判定：特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性判定：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内新平面上的左半平面,Z域w域,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,1.W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据,令,注意到z和w都是复变量，则有,显然：,考察上式：在z平面的单位圆上，满足,对应在w平面上：表明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,Z平面单位圆内,Z平面单位圆外,w平面左半平面,w平面右半平面,劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,例1：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时K的极限值。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,进一步整理后，w域的特征方程：,劳斯表,由劳斯稳定判据,使系统闭环稳定的取值范围,极限增益,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,2.Jury（朱利）稳定判据,Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。,设离散系统的阶闭环特征方程,利用特征方程的系数，构造、列Jury矩阵。,Jury矩阵的第一行系数：,Jury矩阵的第二行系数：,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,第三行系数第四行系数,第五行系数第六行系数,第七行系数第八行系数,最后行系数,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,Jury稳定判据：特征方程的根，全部严格位于z平面上单位圆内的充要条件是：,以及下列（n-1）个约束成立：,若上述条件均满足，系统稳定。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,*推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是,*推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式,的根全部都在单位圆内的充分条件是,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,例2设一离散时间单位反馈系统，采样周期T=1（s），其开环脉冲传递函数,试用Jury稳定判据确定系统的K值范围。,解：闭环特征方程,对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束条件：,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,综合（1）、（2）、（3）,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,例3：,结果见P325,采样周期与开环增益对稳定性的影响,连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期T。,举例说明：设带有零阶保持器的离散系统如图所示,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,由Jury稳定判据或w域的劳斯稳定判据,w域的特征方程,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,P327图7-42给出K=1,不同采样周期时的单位阶跃响应。结论：（1）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；（2）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。（3）在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的稳态误差,求连续系统稳态误差的方法：（1）L变换的终值定理；（2）动态误差系数法上述方法求离散系统稳态误差,由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式。例如图示系统,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z平面上的单位圆内。由z变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差。,稳态误差：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期T有关。,例1：设图中,试求连续系统相应的稳态误差。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,解：,系统闭环稳定。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的型别与静态误差系数,离散系统的型别根据开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点个数来确定。,分别称为0型、1型、2型等等。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,1.单位阶跃输入时的稳态误差,0型系统,1型及以上的系统,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,2.单位斜坡输入时的稳态误差,0型系统,2型及以上系统,1型系统,系统稳态误差为有限值。,系统稳态误差为零。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,3.单位加速度输入时的稳态误差,0型和1型系统,2型系统,系统稳态误差为有限值。,3型及以上系统,系统稳态误差为零。,离散系统的稳定性与稳态误差,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的动态性能分析,离散系统的时间响应采样器与保持器对系统动态性能的影响闭环极点与动态响应之间的关系,1.离散系统的时间响应,类似于连续系统，一般假设在单位阶跃信号输入时，分析系统的动态性能。,若采用幂级数展开，就可以直接得到输出信号的脉冲序列离散系统的动态性能和稳态性能。,-第七章线性离散系统的分析与校正,如果不能求出闭环脉冲传递函数，但是已知，同样可以写出,例1：设带有零阶保持器的系统如图所示。其中,离散系统的动态性能分析,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的动态性能分析,-第七章线性离散系统的分析与校正,离散系统的动态性能分析,-第七章线性离散系统的分析与校正,2.采样器和保持器对动态性能的影响,连续系统经过采样以后，系统的动态特性将会发生变化；引入保持器以后，将会改变闭环系统的零极点。以例1所示系统为例进行讨论：,（1）连续系统的单位阶跃响应,离散系统的动态性能分析,-第七章线性离散系统的分析与校正,（2）只有采样器的离散系统单位阶跃响应,（3）具有采样器和零阶保持器的离散系统单位阶跃响应,离散系统的动态性能分析,-第七章线性离散系统的