华师大27.1.3_圆周角(2)

27.1.3圆周角(2),特征：,角的顶点在圆上.,角的两边都与圆相交.,1、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,一、旧知回放:,2、圆心角与所对的弧的关系,3、圆周角与所对的弧的关系,4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系,一、旧知回放:,圆周角定理,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即ABC=AOC.,1、100的弧所对的圆心角等于_，所对的圆周角等于_。2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为_。3、如图，在O中，BAC=32，则BOC=_。4、如图，O中，ACB=130，则AOB=_。5、下列命题中是真命题的是（）（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。（B）60的圆周角所对的弧的度数是30（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。（D）120的弧所对的圆周角是60,测验,B,100,50,36或144,64,100,D,问题讨论,问题1、如图1,在O中,B,D,E的大小有什么关系?为什么?,图1,问题3、如图3，圆周角BAC=90，弦BC经过圆心O吗？为什么？,B=D=E,BAC=90,问题解答,1、圆周角定理的推论1：,同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。,2、圆周角定理的推论2：,半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,用于找相等的角,用于找相等的弧,用于判断某个圆周角是否是直角,用于判断某条线是否过圆心,例1,已知：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：,BD=DE,证明：连结AD.,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,AB=AC，,AD平分顶角BAC，即BAD=CAD，,BD=DE,（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。,例2：,如图，P是ABC的外接圆上的一点,APC=CPB=60。求证：ABC是等边三角形,证明：ABC和APC都是所对的圆周角。,AC,ABC=APC=60,(同弧所对的圆周角相等）,同理，BAC和CPB都是所对的圆周角，,BC,BAC=CPB=60。,ABC等边三角形。,例3:船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。,弓形所含的圆周角C=50,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区?,（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？,（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？,例4:,一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角C=45求这个人工湖的直径.,A,B,C,例4:,一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角C=45求这个人工湖的直径.,A,B,C,D,1.如图，在O中ABC=50，则AOC等于（）A.50；B.80；C.90；D.100,D,2.如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则BPC等于（）A.30；B.60；C.90；D.45,B,巩固练习,3.如图,ABC的顶点A、B、C都在O上,C30,AB2,则O的半径是。,2,巩固练习,1.如图,以O的半径OA为直径作O1,O的弦AD交O1于C,则OC与AD的位置关系是_,OC与BD的位置关系是_,若AC=2cm,则AD=_cm。,垂直,平行,4,随堂练习,3.如图,A=50,ABC=60，BD是O的直径，则AEB等于（）A.70B.110C.90D.120,2.如图AB,AC为O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,若ADB=300.则BOC=_。,E,B,1200,随堂练习,分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆周角所对的弧上.,4.如图，AB是O的直径,C和D是圆上的两点,若ABD=40,求BCD的度数.,40,随堂练习,例5.如图，AB为O的一条固定直径，自上半圆上一点C，作弦CDAB，OCD的平分线交O于点P，当点C在半圆（不含A,B两点）上移动时，问：点P的位置是否变化？,例题讲解,分析连结AO，CO，由勾股定理不难得到ABD为等腰直角三角形，则AOC=90，又OA=OC，AC长度已知，则可以求出半径和直径.更一般的情况要用正弦定理来求.,O,C,B,A,D,5.如图，A，B，C三点在O上，ADBC于D，且AC=5，DC=3，AB=，求O的直径.,随堂练习,6.如图,O中,弦DC、AB的延长线相交于点P,如果AOD=1200,BDC=250,那么P=,350,走进中考,7.如图,在O中,AOB的度数为m.C是ACB上一点,D、E是AB弧上不同的两点(不与A,B两点重合),则D+E的度数为（）A.mBCD,走进中考,B,8如图,O中,AB是直径,半径COAB,D是CO的中点,DE/AB,求证:EC=2EA.,提高拓展:,9.如图，OABC，AOB50，试确定ADC的大小？,练一练,10.如图，在ABC中，ABAC6,以AB为直径的半圆交BC于D，交AC于E，若DAC30，则BAC，BD。,练一练,60度,3,11.已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作ADBC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？,练一练,12.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证：ABC为直角三角形.,证明：,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB=90.,ABC为直角三角形.,CO=AB,随堂练习,13.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？,B,A,N,M,C,拓展提高,提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较MAN与MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。,14.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？,拓展提高,提示:从数学角度看,甲、乙谁射门好,关键是比较MAN与MBN的大小,角度越大,射门的机会越好。,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,合作交流,1