线性代数详解.ppt

1.1行列式的定义,我们用表示代数和a11a22a12a21并称它,为二阶行列式,对角线法则,我们用符号表示代数和,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,对角线法则,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,定义1.1.3由n2个数aij(ij12n)排成n行n列，,称,为n阶行列式.,=,其中表示对所有排列j1j2jn取和,D=DT.,若行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式的的值为零.,若行列式中两行（列）的对应元素成比例，则行列列式的值为零.,把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去行列式不变,若行列式有两行(列)相同则此行列式的值为零,1.2行列式的性质,互换行列式的两行(列)，行列式变号.,行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和即D=ai1Ai1ai2Ai2ainAin(i=12n)或D=a1jA1ja2jA2janjAnj(j=12n),定理1.3.1(行列式按行(列)展开法则),例计算行列式,解(法一),例计算行列式,解(法二),=1(-1)2+3,=-24.,例计算行列式,例计算行列式,克拉默法则,如果线性方程组(1-19)的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解,其中,(1-19),(j),设A=(aij)是一个ms矩阵B=(bij)是一个sn矩阵,那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB规定为mn矩阵,C=(cij)其中,cij=ai1b1jai2b2jaisbsj,(i=12m；j=12n),矩阵的乘法,方阵的行列式的运算规律(1)|AT|=|A|(2)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|(3)|A|=n|A|A为n阶方阵；,例：已知三阶方阵A，有|A|=2，则(1)|AT|=(2)|4A|=(3)|2ATA|=,2,128,32,定义1矩阵的初等行(列)变换指的是下面三种变换,矩阵的初等变换,的初等变换.,(1)交换矩阵的某两行(列)（第一种初等变换）,(2)用非零数k乘某一行(列)中的所有元素（第二种初等变换）,(3)把某一行(列)加上另一行(列)的k倍（第三种初等变换）,这三种变换都是可逆的且其逆变换是同一类型,定义对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵,初等矩阵,练习：,乘以初等矩阵相当于进行初等变换；左行右列。,例：设，则,对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得,AB=BA=E,则称矩阵A是可逆矩阵并称B为A的逆矩阵,如果矩阵A是可逆的那么A的逆矩阵是唯一的,A的逆矩阵记为A1即若AB=BA=E则B=A1,例如,设,有AB=BA=E,故B是A的逆矩阵,可逆矩阵,2.性质,(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1=A,(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1,(3)若A、B为同阶可逆矩阵则AB可逆且,(AB)1=B1A1,(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)1=(A1)T;,(5)若A可逆则|A1|=|A|1.,（方法一：公式法）方阵A可逆的充要条件是|A|0,并且,.,矩阵可逆的条件和求法,（方法二：初等变换法）,例设,求A-1.,解,例求解矩阵方程AX=AX其中,解,X=,的数k1k2ks,使,则称向量组A线性相关;,给定向量组A:,如果存在不全为零,(3.3),如果(3.3)当且仅当k1=k2=ks=0时成立,则称向量组A线性无关.,向量组的线性相关与线性无关,总结判断向量组的线性相关性的方法：,(1)利用定义判断.,这是判定向量组的线性相关性的基本方法.,(2)利用定理2判断.,(3)利用行列式(推论1)判断.,此法仅适用于向量的个数与向量的维数相等的情形.,这是常用方法.,例已知向量组线性无关b1=a1a2,b2=a2a3b3=a3a1试证向量组b1b2b3线性无关,证,设有k1k2k3使得k1b1k2b2k3b3=0则,(k1k2)a1(k2k3)a2(k1k3)a3=0,即,k1(a1a2)k2(a2a3)k3(a3a1)=0,因为a1a2a3线性无关故有,此方程组只有零解k1=k2=k3=0,所以向量组b1b2b3线性无关.,例讨论向量组,的线性相关性.,向量组的秩,定义向量组的极大无关组所含向,量的个数称为该向量组的秩,记为.,定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它,的行向量组的秩,例设向量组A：,求列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关,组的列向量用极大无关组线性表示.,解对向量组为列的矩阵A作初等变换化为行最简,形：,知,a1a2为列向量组的一个极大无关组,且,增广矩阵经过初等行变换化为,那么以,定理若线性方程组,为增广矩阵的线性方程组与(4.1)同解.,(4.1),解线性方程组,定理设线性方程组(4.1)相容,则,(1)当且仅当,时,方程组有唯一解;,(2)当且仅当,时,方程组有无穷多解.,例设,问取何值时,方程组无解？有解？在有解的情况下求出通解。,解,令为增广矩阵,则,当,时，方程组无解；,时，方程组有解。,当,当a=5时，,解为：,特征值、特征向量,定义5.1.1,设A是n阶方阵如果存在数l和n维非零,向量a,使关系式,成立.那么,这样的数l称为方阵A的特征值,非零向,量a称为A的属于特征值l的特征向量.,(5.1),求A的特征值和特征向量的步骤：,(1)计算A的特征多项式A-lE(或lE-A);,(2)求出方程A-lE=0的全部根,即为A的特征值；,(3)对于A的每一个特征根li,求出方程组,的基础解系,量,而其线性组合,就是A对应于li的全部特征向量.,不全为零.,就是A对应于li的特征向,例,求,的特征值和特征向量.,解,A的特征多项式为,得A的特征值为,解方程,.,当l=-1时,解方程组(A+E)X=0,由,得,为基础解系,则A的属于l=1的所有特征,向量：,.,当l=2时,解方程组(A-2E)X=0,由,得,为基础解系,则A的属于l=2的,所有特征向量：,.,相似矩阵,定义设AB都是n阶矩阵若有可逆矩阵P使P1APB则称A与B相似,记作.对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵,矩阵的对角化,对n阶方阵A,寻求一个相似变换矩阵P,使得PAP1为对角矩阵,该过程称为把方阵A对角化.,定理一个n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要,条件是它有n个线性无关的特征向量.,推论若n阶方阵A的n个特征值互不相等,则A可,对角化.,定理2n阶矩阵A可对角化的充要条件是对于A的每一个ki重特征值li有r(A-li