3.3.1几何概型

3.3.1几何概型,学习目标：,古典概型的两个基本特征?,有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件；等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.,现实生活中,有没有实验的所有可能结果是无穷多的情况?,相应的概率如何求?,复习回顾,在转盘游戏中，当指针停止时，为什么指针指向红色区域的可能性大？,因为红色区域的面积大，所以指针落在红色的区域可能性大。,一、创设情景，引入新课,问题1:甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.求甲获胜的概率分别是多少?,二、主动探索，领悟归纳,(1)不管这些区域是否相邻，甲获胜的概率是不变的。(2)甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与图形的大小无关。,问题2:甲获胜的概率与区域位置有关吗？与图形大小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？,事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的面积有关,而与字母B所在区域的位置无关.,上述问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”还存在，但显然不能用古典概型的方法求解，怎么办呢？,主动探索,对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.,形成概念,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.,领悟归纳,几何概型的特点:,(1)基本事件有无限多个;,（2)基本事件发生是等可能的.,一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:,即:,注:,(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积.,（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；,例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.,分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但060之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。,可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率。,解:设A=等待的时间不多于10分钟.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于50,60时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为,三、巩固深化，应用拓展,1.公共汽车在05分钟内随机地到达车站，求汽车在13分钟之间到达的概率。,分析：将05分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则13分钟是这一线段中的2个单位长度。,解：设“汽车在13分钟之间到达”为事件A，则,所以“汽车在13分钟之间到达”的概率为,变式练习,2.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?,解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。,3m,1m,1m,3.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？,B,C,D,E,.,0,解：记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而弧CD的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有,则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为,解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则,有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.,变式4,分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。,对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.,学法领悟,例2：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?,变式5一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率是,解析；如果离四个顶点距离都大于3，那么蚂蚁所处的位置应该四个四分之一圆之外，圆的圆心为4个顶点，半径都是3，,A,B,C,D,1.几何概型的特点.2.古典概型与几何概型的区别：1）两种模型的基本事件发生的可能性都相等；2）古典概型要求基本事件是有限个，而几何概型则要求基本事件有无限多个。3.几何概型的概率公式及运用.,四、总结评价，促进成长,1.在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。,分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC上时，AMAC，故线段AC即为区域d。,解：在AB上截取AC=AC，于是P（AMAC）=P（AMAC）,则AM小于AC的概率为,2.某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率？,解：记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事