通信原理-ch3-随机信号(李2014年版)

通信原理,第三章随机信号分析,本章内容结构,3.1 引言3.2 概率论的基本概念复习3.3 随机过程的基本概念3.4 平稳随机过程的概念3.5 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度3.6 高斯过程和高斯白噪声3.9 平稳随机过程通过线性系统,3.1 引言,为什么学习随机信号？噪声是一种随机信号；通信中传递的信息，对接收者来说是事先不知道的，也就是随机的；有的时候信道的传输特性也是随机变化的（例如短波、微波传输的衰减受天气的影响很大）。,3.2 概率论的基本概念复习,1、随机变量的概念（1）在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事件称为随机事件(简称事件)。（2）样本空间的概念：在随机实验中，所有可能的结果的集合（例如抛1次硬币，其样本空间为正面,反面）（3）随机变量的概念：对于一个样本空间，若每一个元素有一个随机的单值与之对应，则称之为随机变量（例如，抛硬币如果是正面我们用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是这个实验的随机变量，通常记为。读法：克西）,设随机变量可以取x1、x2、x3、x4四个值，且有：x1x2x3x4；对应的概率为P(xi)或P(xi)，则有：P(x2)P(x1)+P(x2)，用P(x)定义的x的函数称之为随机变量的概率分布函数(以后简称分布函数)，记作F(x)，即,该定义中，x可以是离散的也可以是连续的， 显然有,以及，设x1x2，则F(x1)F(x2)， 即F(x)是单调不减函数。,2、随机变量的统计特性（即概率分布）,2、随机变量的统计特性（即概率分布）,（1）离散型随机变量常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为（2）连续型随机变量只能用分布函数和概率密度函数来描述,3、随机变量的数字特征,（1）数学期望E(即均值)对于离散随机变量：实际上就是对随机变量的加权求和，而加权值就是各个可能值出现的概率。 对于连续随机变量：均值描述随机变量的统计平均值，反映了随机变量取值的集中位置。,3、随机变量的数字特征 （续）,（2）方差D对于离散随机变量：对于连续随机变量：方差表示随机变量与均值之间的偏离程度，或者说反映随机变量取值的集中程度。,2、随机变量的数字特征(续),（3）相关函数无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机变量的相关函数统一定义为,请同学们将教材公式3.2.10右面的逗号改为乘号,3.3 随机过程的基本概念,3.3.1 随机过程测度论中给出了随机过程的严格的数学定义，可是非常抽象、不易理解因此我们从一个随机过程的实例，及其样本空间，来描述随机过程,通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程,我们都知道，抛1次硬币作为1次实验，得到的结果可能是正或反，所以其样本空间为正，反设想我们连续抛3次硬币作为1次实验，那么，其可能结果为： 所以这个实验样本空间为上述 8个情况的集合,通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程,我们知道“抛1次硬币”的结果对应的值称作“随机变量”而“连续抛3次硬币”，每次实验都会对应3个随机变量（第一次t1、第二次t2、第三次t3），因此不能再称作随机变量了我们称这种实验叫做“随机过程”，记为(t),通过热噪声的例子来理解随机过程,这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种“随机过程”。图中画出了其3个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间t的函数,简单地说，随机过程是一种取值随机变化的时间函数， 它不能用确切的时间函数来表示。对随机过程来说，“随机”的含意是指取值不确定， 仅有取某个值的可能性；“过程”的含意是指它为时间t的函数。即在任意时刻考察随机过程的值是一个随机变量，随机过程可看成是随时间t变化的随机变量的集合。或者说，随机过程是一个由全部可能的实现(或样本函数)构成的集合， 且每个实现都是不确定的。,对随机过程应理解为，与某一特定的结果相对应的时间函数是一个确定的时间函数，称之为随机过程的一个样本函数或一次实现；在某一特定时刻t=t1时，函数 是一个随机变量，对不同的时间t得到一簇随机变量，所以随机过程是依赖于时间参数t的一簇随机变量。如果在某一个固定时刻，如t=t1时，来观察随机过程的值 ，那么它是一个随机变量；在不同的t1，t2，tn时刻考察随机过程时，将得到不同的随机变量。,随机变量和随机过程的区别与关系,区别：随机变量与随机过程的样本空间是不同的这种区别体现在样本空间的数量上和性质上关系：随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变量,3.3.2 随机过程的统计特性,由于随机过程由一系列随机变量组成所以无法用某一随机变量的统计特征来描述整个随机的统计特性于是人们定义了一维概率分布函数和概率密度函数二维概率分布函数和概率密度函数。N维概率分布函数和概率密度函数,一维概率分布函数和密度函数,因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量,由于随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性， 而不能反映过程内部任意两个时刻或多个时刻上的随机变量的内在联系， 因此还必须引入二维分布函数及多维分布函数才能达到充分描述随机过程的目的。 ,二维概率分布函数和密度函数,3.3.3 随机过程的数字特征,1、数学期望（均值函数）由于随机过程是由一系列随机变量组成的,是时间的t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心,2、随机过程的方差,同理，随机过程的方差也是一个关于时间的函数，可由下式计算它表示随机过程在时刻t对于均值 的偏离程度。,3、随机过程的自相关函数,随机过程 的均值a (t)和方差2(t) ，仅描述了随机过程在孤立时刻上的统计特性，它们不能反映出过程内部任意两个时刻之间的内在联系。这点可用下图来说明。图 (a)中的随机过程X(t)和图 (b)中的随机过程Y(t)具有相同的均值和方差，但X(t)和Y(t)的统计特性明显不同。X(t)变化快，Y(t)变化慢，即过程内部任意两个时刻之间的内在联系不同或者说过程的自相关函数不同。X(t)变化快，表明随机过程X(t)内部任意两个时刻t1，t2之间的互相依赖性弱，即自相关性弱。而Y(t)变化慢，表明随机过程Y(t)内部任意两个时刻t1，t2之间的互相依赖性强，即自相关性强。,图 随机过程的自相关函数(a) 随机过程X(t); (b) 随机过程Y(t),所谓相关，实际上是指随机过程在t1时刻的取值对下一时刻t2的取值的影响。影响越大，相关性越强，反之，相关性越弱。 为了定量地描述随机过程的这种内在联系的特征,即随机过程在任意两个不同时刻上取值之间的相关程度,我们引入自相关函数R (t1,t2) 。 随机过程的自相关函数R (t1,t2)定义为,习题：设随机过程 可表示成 ，式中 是一个离散随机变量，且 、 ，试求 及 。解：在t=1时， 的数学期望,在 时， 的自相关函数,3.4 平稳随机过程的概念,3.4.1 平稳随机过程的分类和定义严(狭义)平稳过程任意n维分布与时间起点无关,而只与这n点的时间间隔有关宽(广义)平稳过程不一定是严平稳过程,但具有严平稳过程的某些特征通信中遇到的绝大部分随机过程属于这一类,平稳随机过程是指过程的任意n维概率密度函数fn(x1，x2，xn；t1，t2，tn)与时间的起点无关。即对任意的n值及时间间隔来说，如果随机过程X(t)的n维概率密度函数满足 则称随机过程X(t)为平稳随机过程。 可见平稳随机过程是指统计特性不随时间的变化而改变的随机过程。 如果过程产生的环境条件不随时间的变化而改变的话，则该过程就可以认为是平稳的。 通常， 在通信系统中遇到的随机信号和噪声都是平稳随机过程。,严(狭义)平稳随机过程,随机过程任意n维联合密度与时间起点无关,只与时间间隔有关1 维分布与时间起点无关,则,平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏,起伏偏离数学期望的程度是常数,严(狭义)平稳随机过程(续),随机过程任意n维联合密度与时间起点无关2维联合分布与时间起点无关,则,严(狭义)平稳随机过程的数字特征,（1）均值函数为常数（2）方差函数均为常数（3）自相关函数只与两个时间点之间的时间差有关，而与时间起点无关通过定义判定严(狭义)平稳随机过程 很复杂,由严(狭义)平稳引出宽(广义)平稳,如果一个随机过程满足下列条件则称之为“宽（或广义）平稳过程”（1）均值函数为常数（2）方差函数均为常数（3）自相关函数只与两个时间点之间的时间差有关，而与时间起点无关,以后，“平稳过程”均指“宽平稳过程”,例3.2若X(t)和Y(t)为平稳过程，证明Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程,设X(t) 、 Y(t)相互独立,常数,常数,例3.2（续）,常数,常数,即，符合平稳第2条件,例3.2（续）,3.4.2 平稳过程的各态历经性（遍历性）,简单地说，一个随机过程如果做1次实验，在时间上的统计特征等于做无数次试验的统计特征，称这种过程具有遍历性用数学表示即,具有遍历性的过程一定是平稳过程，但反之不一定,含义：随机过程的任意一个实现，都经历了随机过程的所有可能状态。,3.5.1 平稳过程的自相关函数和功率谱密度的关系,同样符合维纳-辛钦定理，即,平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对付立叶变换,同学们可参阅例3.5.1,3.5 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度,3.5.2 平稳过程自相关函数的性质,3.6 高斯过程和高斯白噪声,一、高斯过程的定义若一随机过程的任意n维分布都是高斯分布，称为高斯过程（这个条件过于严格，很少使用）二、高斯过程的性质对高斯过程而言，严平稳等价于宽平稳对高斯过程而言，不相关等价于独立高斯过程通过线性系统仍为高斯过程,这些性质在考研试题中经常使用;在本课考试中,也常以填空形式出现,二维高斯分布示意图,3.6 高斯过程和高斯白噪声（续）,三、高斯白噪声通信中经常遇到这样一类噪声，具有以下性质：1、在时域上，任一时刻，该随机过程对应的随机变量是一个高斯随机变量2、在频域上，其功率谱是一个常数我们称这种噪声为高斯白噪声,白噪声的自相关函数为白噪声只有在 时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声在任意两个不同时刻上取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。理想化的白噪声在实际中是不存在的。如果噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远远大于通信系统的带宽，那么就视为白噪声,3.7 窄带随机过程（不在考试范围）,一、为什么要研究窄带随机过程1、通信中的噪声多为高斯白噪声，其功率谱在很宽的一个频带内基本为一常数2、通信系统的接收端接收到的信号是信息信号与噪声信号的叠加，为了减小噪声功率向下一级的传递，往往通过窄带带通滤波器将有用信号滤出3、但是除了信号能通过滤波器外，“带内噪声”也能顺利通过滤波器4、通过窄带滤波器的高斯白噪声，就形成了一个“窄带随机过程”，又称“窄带噪声”5、分析这个“窄带噪声”的统计特性，有助于分析系统的输出信噪比和误码率,二、窄带随机过程的频谱和波形示意图,三、窄带随机过程的表达式,四、,3.9 平稳过程通过线性系统（重要章节，考计算题）,平稳过程通过线性系统（如R/L/C/加法器/延时器等组成的电路）时,线性系统,输出随机过程与输入随机过程的关系?,关系1：,文字描述即：输出随机过程的数学期望等于输入平稳随机过程的数学期望乘以该线性系统的转移函数H()在=0时的值，且与t无关。,代入即证毕,关系2：若输入过程平稳，则输出过程也平稳,根据平稳性,有,的自相关函数只依赖时间间隔 ，而与时间起点 无关。,结合关系1，可以证明：若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。,关系3：（最重要，考试常用）,令 ，则有,证明：,即,关系3：,当想得到输出过程的自相关函数 时，比较简单的方法是先计算出输出功率谱密度，然后求其反变换，这比直接计算 要简便得多。,例3.3（综合利用维纳-辛钦定理和平稳过程通过线性系统的性质）,延时T,例3.3（此题有2种解法）,解法一：从时域入手，先求输出过程的自相关函数,例3.3（解法一）（续）,例3.3（解法二）,解法二：从频域入手，先求输出过程的功率谱密度,解法一与解法二的结果是一致的,本章重点小结,1、随机过程和平稳过程的基本概念和性质（1）任一样本都是一个关于时间的函数（2）固定任一时刻得到一个随机变量2、平稳随机过程,3、自相关函数的5条性质和物理意义,4、高斯