投影的基础知识

,第2章,投影的基础知识,2.1投影法,物体在光源的照射下会出现影子。,投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。,2.1.1投影法的基本知识,投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。,投影法,所有投射线的起源点。,投射中心,发自投射中心且通过物体上各点的直线。,投射线,投影面,在投影法中得到投影的面。,投影(图),根据投影法所得到的图形。,2.1.2投影法的种类,投影法,中心投影法,平行投影法,斜投影法,正投影法,常用的投影法有两大类：,中心投影法和平行投影法。,2.1.2投影法的种类,投影面P,投射线,规定大写字母表示空间点;小写字母表示相应空间点的投影。,投射线均通过投射中心。,投射中心,1.中心投影法,2.1.2投影法的种类,投射中心,投影面,a投影,b投影,在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。,投影特性,2.1.2投影法的种类,投影特性,度量性较差。,2.1.2投影法的种类,如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。,斜投影法投射方向S倾斜于投影面P,正投影法投射方向S垂直于投影面P,2.平行投影法,2.1.2投影法的种类,2.平行投影法,投影特性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好,但直观性(立体性)差。,工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。,2.2多面正投影和点的投影,2.2.1单面投影及其特性,只凭一个投影，不能反映唯一的空间情况：,由投影到物的不确定,平行性不确定,从属性不确定,物的形状不确定,继续,特性,平行性不确定,投影平行，物(几何原形)不一定平行。,返回,从属性不确定,点的投影在直线的投影上，但空间的点并不一定在空间的直线上。,返回,物的形状不确定,投影可能是物I，也可能是物II或，还有可能是其它形状，故物的几何形状不确定。,返回,1.为什么会产生这些不确定？,2.要求投影图能确切地、唯一地反映空间的几何关系，该如何做？,如何解决？,什么原因？,继续,2.2多面正投影和点的投影,一个空间点有唯一确定的投影，但仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。,原因：,点是最基本的几何元素，下面用点的投影说明正投影的规律。,返回,解决方案,需要增加投影面。,为了确定几何元素的空间位置，需要建立投影的投影面体系。,O,返回,2.2.2点的多面投影及特性,1.点在两投影体系中的投影,2.2.2点的多面投影及特性,1.点在两投影体系中的投影,说明：若移去空间点A，由点的两个投影可确定该点的空间位置。,已知一点的两面投影，就能唯一确定该点的位置。,2.2.2点的多面投影及特性,空间点用大写字母（如A、B、）表示。,在水平投影面上的投影称水平投影，用相应小写字母（如a、b、）表示。,在正立投影面上的投影称正面投影，用相应小写字母加一撇（如a、b、）表示。,规定,1.点在两投影体系中的投影,2.2.2点的多面投影及特性,规定,细实线aa称为投影连线！,1.点在两投影体系中的投影,2.2.2点的多面投影及特性,1.点在两投影体系中的投影,特性,2.2.2点的多面投影及特性,2.点在三投影体系中的投影,虽然点的两面投影已能确定该点的位置，但有时两面投影并不能准确地表示某些空间几何形体。,2.2.2点的多面投影及特性,2.点在三投影体系中的投影,2.2.2点的多面投影及特性,2.点在三投影体系中的投影,投影面V、H和W面将空间分成了八个分角。,画图时只画第一分角。,2.2.2点的多面投影及特性,2.点在三投影体系中的投影,【例】已知点B的两个投影b和b，求作其水平投影b。,通过作45转宽线使y坐标相等,2.2.3点的投影与坐标之间的关系,若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值。,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,(x,y),(x,z),(y,z),X,点A到W面的距离=x=oax点A到V面的距离=y=aax点A到H面的距离=z=aax,水平投影a反映A点X和Y的坐标正面投影a反映A点X和Z的坐标侧面投影a反映A点Y和Z的坐标,2.2.3点的投影与坐标之间的关系,若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值。,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,(x,y),(x,z),(y,z),X,点的一个投影反映了点的两个坐标。,已知点的两个投影，则点的三个坐标就可确定，即唯一确定该点的位置A（X，Y，Z）。,【例】已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。,ax,az,YW,YH,Z,X,2.2.4投影面和投影轴上的点,2.2.5两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。其中一点为基准点，另一点为比较点。,如空间图上点B相对点A的方位。投影图呢？,投影图上判断方法：,x坐标大的在左(离W面远),y坐标大的在前(离V面远),z坐标大的在上(离H面远),B点在A点之后、之右、之下。,【思考】指出图中的极限位置点。,最高点：,最低点：,最左点：,最右点：,最前点：,最后点：,C,B,C,A,A,C,【例】已知点A在B点之右6毫米，之前4毫米，之上8毫米，求A点的投影。,即：X=6Y=4Z=8,2.2.6重影点,当空间两点位于某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。,点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重合，称为对H面的重影点;,点C、D称为对V面的重影点。,距投影面近的点不可见，一般需加括号表示。,规定,2.3直线的投影,2.3.1直线投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影(用粗实线画出)。,2.3直线的投影,2.3.1直线投影,直线的投影一般仍然直线，特殊情况积聚为一点。,直线平行于投射方向,类似性,积聚性,2.3.3直线对投影面的各种相对位置,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,2.3.3直线对投影面的各种相对位置,直线对投影面的倾角,直线与直线的投影之间的夹角。,直线对三投影面的倾角,直线对水平投影面的倾角,直线对正立投影面的倾角,直线对侧立投影面的倾角,直线对三投影面的倾角,投影与投影轴之间的夹角，一般不等于直线对投影面的倾角。,注意,与三个投影面均处于倾斜位置的直线，称为一般位置直线。,1.一般位置直线,投影特性,1三个投影均小于实长；,2三个投影均倾斜于投影轴；,3三个投影均不反映a、b、g角的真实大小。,2.投影面平行线,投影面平行线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正平线,侧平线,水平线,水平线平行H面但倾斜于V、W面的直线,投影特性：1ab=AB,2abOX;abOY1,3反映、角的真实大小,为什么？,正平线平行V面但倾斜于H、W面的直线,为什么？,投影特性：1ab=AB,2abOX;abOZ,3反映a、角的真实大小,侧平线平行W面但倾斜于H、V面的直线,为什么？,投影特性：1ab=AB,2abOY;abOZ,3反映a、角的真实大小,投影面平行线投影特性,Z,YW,水平线,YH,1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面的真实倾角。,2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，长度缩短。,侧平线,正平线,投影特性,与H面的夹角:与V面的夹角:与W面的夹角:,正垂线,侧垂线,铅垂线,投影面垂直线,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,2.投影面垂直线,铅垂线垂直于H面的直线,投影特性：1ab积聚成一点,2abOX;abOY1,3ab=ab=AB(实长),正垂线垂直于V面的直线,投影特性：1ab积聚成一点,2abOX;abOZ,3ab=ab=AB(实长),侧垂线垂直于W面的直线,投影特性：1ab积聚成一点,2abO;abOZ,3ab=ab=AB(实长),投影面垂直线投影特性,（2）另外两个投影,反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性。,投影特性总结,侧垂线,正垂线,铅垂线,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。,点和直线的从属关系-从属性,反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。,2.3.2直线上点的投影特性,2.3.2直线上点的投影特性,定比性-定比定理,直线上的点分割线段之比等于其投影之比。,2.3.2直线上点的投影特性,2.3.2直线上点的投影特性,【例】试在AB线段上取一点C，使ACCB12，求分点C的投影。,a,b,c,a,b,c,X,C1,B1,分点C的投影，必在AB线段的同面投影上，且accbaccb12可用比例作图法作图。,1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1)；,5）过c作X轴的垂线与ab交于c。则c、c即所求分点C的投影。,2）在aB1上取C1，使aC1C1B112；,3）连接B1、b；,4）过C1作C1cB1b，与ab交于c；,作图步骤：,分析：,2.3.2直线上点的投影特性,【例】判断点K是否在线段AB上。,因k不在ab上，故点K不在AB上。,【例】判断点K是否在线段AB上。,应用定比定理,另一判断法?,e,k,f,e,f,X,【例】已知直线EF及点K的二投影，试判断:点K是否在直线EF线上。,作图步骤：,应用定比定理,E1,k1。,k,1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1;,因为已知投影k与k1不重合，所以点K不在直线EF上。,.K1,3)连接E1e，过K1作直线平行于E1e，与fe交于k1；,2)在fE1上取fK1=fk,K1E1=ke;,空间两直线的相对位置分为,平行,相交,交叉,继续,2.3.4两直线的相对位置,1.两直线平行,【例】判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,AB与CD不平行。,【例】判断图中两条直线是否平行。,X,o,YH,YW,亦可根据平行两线段的第二条投影特性平行两线段之比等于其投影之比及判断两线段对投影面的倾斜方向是否相同的原则。,返回,判别方法：,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,2.两直线相交,相交两直线的三面投影：,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。,【思考】判断图中两条直线是否相交。,方法1：,方法2：,判断点是否属于直线CD；,也可运用侧面投影判断。,2,3,1,正平线的点Y坐标相等,即水平投影/OX轴.,【例】作一正平线，使其与已知三直线均相交。,返回,3.两直线交叉,A、B是对H面的重影点,【例】试判断交叉两根管子AB和CD的相对位置，并判断可见性。,返回,两直线的相对位置的投影特性,4.直角投影,定理一,4.直角投影,定理二(直角投影定理的逆定理),4.直角投影,【思考】已知def为直角，且deOX。试判断DEF是否为直角。,DEF是直角,【例】已知定点A及正平线CD。试过点A作直线与已知直线CD垂直相交。,b,b,过a作abcd；,求B点的投影；,直线AB即为所求。,作图步骤,定理三(定理一的推广)：,定理四(定理三的逆定理)：,4.直角投影,继续,互相垂直的两直线(相交或交叉)，其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,相交或交叉两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则两直线的夹角必是直角。,定理三：,返回,分析,现过点A作一平面P已知直线EF，在平面P上过点A作的所有直线都是所求，故本题又无穷多解。,现利用直角投影定理来求解。,【例】试过定点A作直线垂直于已知直线EF。,【例】试过定点A作直线垂直于已知直线EF。,h,h,过点A作一正平线AH，使ahef，则AH(ah,ah)便是一个解答。,也过点A作一水平线，使其水平投影与ef垂直，这是第二个解答。,作图方法,【例】已知水平线AB和正平线CD，试过定点S作它们的公垂线。,l,l,解：过点S的水平投影s作slab，过点S的正面投影s作slcd。,根据定理三，必有SLAB及SLCD，故SL即为所求的公垂线。,2.4平面的投影,2.4.1平面的几何表示,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,1.平面的投影作图是点和直线的投影作图的综合，这三种元素是相互依存(从属关系)且可相互转化的。,2.五种方法是统一的，可以相互转换；其中最常用的形式是两相交直线和平面图形的表示方法。,3.上述任何一种表示方法，如果不加特别说明，一般只是确定平面的空间位置，并不限定其空间范围。,说明,2.4.2各种位置平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性,平面/投影面投影反映实形面,平面投影面投影积聚成直线,平面投影面投影类似原平面,平面对一个投影面的投影特性,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,平面对于三投影面的位置可分为三类：,2.4.2各种位置平面的投影特性,1.投影面垂直面,2.4.2各种位置平面的投影特性,铅垂面垂直于H面且与V、W面倾斜的平面,投影特性：(1)水平投影积聚为一条直线；,(2)正面投影和侧面投影为原形的类似形；,(3)水平投影与OX、OY的夹角反映b、角的真实大小。,【例】已知铅垂面ABC的两面投影，作第三投影。,a,b,c,正垂面垂直于V面且与H、W面倾斜的平面,投影特性：(1)正面投影积聚为一条线；,(2)水平投影和侧面投影为类似形；,(3)正面投影与OX、OZ的夹角反映、角的真实大小。,侧垂面垂直于W面且与H、V面倾斜的平面,投影特性：(1)侧面投影积聚为一条线；,(2)水平投影和正面投影为类似形；,(3)侧面投影与OY、OZ的夹角反映、b角的真实大小。,投影面垂直面的投影特性,2.投影面平行面,正平面平行于V面的平面,投影特性：(1)正面投影反映实形；(2)水平投影、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相应的OX、OZ投影轴。,水平面平行于H面的平面,投影特性：(1)水平投影反映平面实形；(2)正面投影、侧面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OX、OY1投影轴。,侧平面平行于W面的平面,投影特性：(1)侧面投影反映平面实形；(2)水平投影、正面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的OY、OZ投影轴。,【例】已知正平面ABC的两面投影，作第三投影。,a,b,c,思考：正平面的侧面投影有什么特征？为什么？,积聚成一条直线，且与Z轴平行。因为平面上的各点距V面等远，即各点的Y坐标皆相等。,投影面平行面的投影特性,一般位置平面,一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似性。,小结,说明：1.要注意区分投影面平行面和投影面垂直面的概念。,2.抓住积聚性投影的数量和位置是判断平面空间位置的一个重要手段(注意不要死记硬背)。,一实形两平行线,三类似形,一斜线两类似,【例】已知一平面图形的两面投影，求第三面投影。,分析：该平面为铅垂面。,1.将平面图形顶点的投影编号;,2.求出各点的第三面投影。,3.顺序连线。,解：,【例】在直观图上标出各平面的位置（用相应的大写字母），在投影图上标出指定平面的其他两个投影。并写出指定平面的名称。,正垂面,面是,面是,侧平面,面是,水平面,【例】在直观图上标出各平面的位置（用相应的大写字母），在投影图上标出指定平面的其他两个投影。并写出指定平面的名称。,铅垂面,面是,面是,水平面,面是,侧平面,如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上（即定点先定线）。,2.4.3平面上的点和直线,点在平面上的条件,【例】已知相交两直线AB和CD给定一平面,试求属于该平面的任意两点。,d,e,d,e,1.取属于已知直线AB的任意点D(d、d)，必属于定平面；,2.取属于已知直线BC的任意点E(e、e)，也必属于定平面。,解,通过平面上的两个点或通过平面上的一个点且平行于平面上的一条直线（即作线先找点）。,2.4.3平面上的点和直线,直线在平面上的条件,【例】已知相交两直线AB和BC给定一平面，试取属于该平面的任意两直线。,经过属于该平面的一已知点且平行于属于该平面的一已知直线,经过属于该平面的已知两点,1）,a,b,c,a,b,c,过平面内两已知点作辅助线求解,X,2）,a,b,c,a,b,c,过平面内一个已知点作平面内已知直线的平行线求解,X,【例】已知平面ABC内一点K的H投影k,试求K点的V投影k。,O,O,【例】已知ABC给定一平面，试判断点S是否属于该平面。,不属于,分析,作属于定平面的辅助线AD（ad、ad），先使经过s；再看ad是否经过s。,【例】已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V投影abc，试完成其V投影。,1）连接ac和ac得辅助线AC的两投影；,d,a,c,b,d,b,a,c,X,2）连接bd交ac于e；,3）由e在ac上求出e；,4）连接be，在be上求出d；,5）分别连接ad；及cd，即为所求。,e,e,O,【例】已知平面ABCD的两面投影，在其上取一点K，使点在面之上10mm，在面之前15mm。,平面的投影面平行线,d,【例】已知ABC给定一平面,试过点A作属于该平面的水平线，过点C作属于该平面的正平线。,e,d,e,思考：如何在面上作过点B的水平线？,回忆前面作四边形平面例。,2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置,几何元素的相对位置,两直线,两平面,直线与平面,平行,相交(垂直为其特殊情况),交叉,平行,相交,平行,相交,学习目的和要求,1.在投影图上如何绘制及判别直线与平面平行和两平面平行的问题；,2.如果不平行，在投影图上如何求出它们的交点或交线。,2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置,2.5.1直线和平面以及两平面之间的平行问题,1.直线与平面平行,直线与一般位置平面平行,c,c,c,c,例：试判断已知直线AB是否平行于定平面DEF。,平行,不平行,【例】过已知点k，作一条水平线平行于ABC平面。,步骤：,1）在ABC平面内作一水平线AD；,2）过点K作KLAD；,3）直线KL即为所求。,k,k,a,a,b,c,b,c,X,O,【例】过点S作一直线，平行于用二平行直线BC和DE所表示的已知平面。,1）所求直线可作多少条？,2）若直线的一个投影已知，如何求第二个投影？,3）过所求平行线作任意平面是否都与已知平面相平行？如何才能保证其必然平行？,l,l,思考,X,O,直线与特殊位置平面平行,直线与特殊位置平面平行时，直线必有一个投影平行于该平面的积聚性投影。,直线与平面在同一投影面上的投影都有积聚性。,2.平面与平面平行,两一般位置平面平行,【例】过点K作一平面，使其与平面ABC平行。,解：只要过K点作两条相交直线分别平行于ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。,作图步骤：,2）作KDAC(kdac,kdac);,l,l,d,d,1）作KLBC(klbc,klbc);,3）平面KDL即为所求。,X,O,【例】试判断两已知平面ABC和DEF是否相互平行。,答案：平行,【例】已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过定点S作一平面平行于已知平面。,分析：只要过点K作一对相交直线对应地平行于属于己知平面的一对相交直线，所作的这对相交直线便可代表所求的平面。,作图步骤：,2）过点S作一对相交直线，分别平行于直线AB和MN；,1）在已知平面内作一直线MN，与原平行线相交；,3）相交两直线EF和GH所确定平面即为所求。,m,n,e,f,h,g,g,h,f,e,m,n,X,O,2.平面与平面平行,两特殊位置平面平行,若两平面同时垂直某一投影面，则只检查具有积聚性的投影是否平行即可。,【例】判别两投影面垂直面是否平行。,平行,2.5.2直线和平面以及两平面之间的相交问题,直线与平面的交点的求法：,直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线，又属于平面。,两平面交线的求法：,两平面的交线是一直线，这条直线为两平面所共有。欲找出这条直线的位置，只要找出属于它的两点(或找出一点和交线的方向)就可以了。,利用积聚性求交点。,当平面的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上取点的方法求出。,1.一般位置直线与特殊位置平面相交,【例】求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其H投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的H投影。,1)求交点。,2)判别可见性。,由H投影可知，kn段在平面前方，故V投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,作图,k,k,1,2,1(2),X,O,2.特殊位置直线与一般位置平面相交,利用积聚性求交点,特殊位置平面的投影有积聚性，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上取点的方法求出。,3.一般位置平面与特殊位置平面相交,【例】求两平面ABC和DEF的交线，并判别可见性。,空间及投影分析,平面DEF是一铅垂面，其H投影积聚成一条直线。只须求出属于交线的任意两点就可以了。,1)求两交点，得出交线。,2)判别可见性。,由H投影可知，KA段和LB段在平面前方，故V投影上ka和lb可见。,还可通过重影点判别可见性(能直接看出，就不必另行作图)。,作图,4.两特殊位置平面相交,两平面同时垂直于某一投影面时，其交线为该投影面的垂直线。,因投影面垂直线在所垂直的平面上的投影积聚为一点，故此点也就是交线的投影。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),（1）空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。,求交线,判别可见性（H面）,（2）作图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,【例】求两平面的交线MN，并判别可见性。,5.一般位置直线和一般位置平面相交,由于直线和平面均为一般位置，它们的投影没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，不能在投影图上直接定出交点来；,1.采用辅助平面，经过一定的作图过程，才能求得。,2.使用换面法。,辅助平面法的基本原理,2）求出辅助平面与原平面的交线；,1）包含直线作任意辅助平面；,3）求出交线与原直线的交点，即所求直线与平面的交点；,辅助平面有无穷多，作图时尽量利用特殊位置平面。,注意,2）求出辅助平面P与平面ABC的交线MN；,1）包含直线DE作辅助平面铅垂面P；,3）求出交线MN与DE的交点K，即所求直线与平面的交点。,【例】求直线DE与一般位置平面ABC的交点。,分析,利用辅助平面法求解。辅助平面是铅垂面或正垂面均可。,作图（铅垂面）:,空间分析,2）求出辅助平面S与平面ABC的交线MN；,1）包含直线DE作辅助平面正垂面S；,3）求出交线MN与DE的交点K，即所求直线与平面的交点。,【例】求直线DE与一般位置平面ABC的交点。,辅助平面为正垂面:,空间分析,【例】判断前一例题的可见性。,空间分析,方法,在直线与平面相交和两平面相交中，为了使图形明显起见，一般把被遮住部分用虚线表示。因此，在作图过程中存在着可见性的判断问题。,说明,2）在各个投影方向上的可见性情况是不同的，作图时必须分别加以判断。,1）利用辅助平面的目的是为了利用积聚性的条件以简化作图，所以一般都选用投影面垂直面为辅助平面；,两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。解决此类问题的思路是：,1.用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点，然后连接出交线；,2.使用换面法。,6.两一般位置平面相交,2）求出边AC与DEF的交点N(前述的三个步骤)；,1）求出边AB与DEF的交点M(前述的三个步骤)；,3）连接M点和N点，所得线段MN即为所求两平面的线。,空间分析,6.两一般位置平面相交,用直线与平面求交点的方法求两平面的交线,继续可见性判断（见下页）,两平面交线的可见性,1)交线是平面可见部分与不可见部分的分界线；,2)根据直线的可见性来判断平面的可见性。,分析,2.6换面法以及换面法中的投影变换,2.6.1换面法的基本概念,几何元素的定位和度量,空间直线和平面对投影面为一般位置,空间直线和平面对投影面为特殊位置,投影不反映真实大小，也不具有积聚性,投影有的反映真实大小，有的具有积聚性,2.6换面法以及换面法中的投影变换,2.6.1换面法的基本概念,若能把一般位置的几何元素改变为特殊位置的几何元素，则可以解决它们的度量或定位问题。,投影变换：,研究如何改变空间几何元素对投影面的相对位置或改变投影方向。,2.6换面法以及换面法中的投影变换,2.6.1换面法的基本概念,投影变换的基本方法,换面法,旋转法,斜投影法,2.6换面法以及换面法中的投影变换,2.6.1换面法的基本概念,2.6.1换面法的基本概念,换面法,空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。,V/H体系变为V1/H体系,更换投影面V为V1/AB，AB变成新投影面平行线。,换面法中的主要名称,1.新投影面必须使空间物体处于最有利的解题位置。,2.为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于某一保留的投影面(如图V1H)，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。,选择新投影面的两个基本条件,1.根据选择新投影面的条件，每次只能变换一个投影面；,3.换面后的新投影面、新投影轴、新投影符号，需加脚注，如“1”、“2”等；,选择新投影面的两个基本条件,注意,2.连续换面时，也是连续地按照以上两个条件进行变换；,A点的两个投影a，a,A点的两个投影：a,a1,（1）换V面,X,V,H,A,a,a,ax,V,H,X,a,a,ax,o,2.6.2点的投影变换,1.点的一次换面,点的投影变换规律,V,H,A,a,ax,X,X1,a1,ax1,a,2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。a1ax1=aax,一般规律：,1)点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。aa1X1,V1,V,H,X,a,a,ax,ax1,O,O1,（2）换H面,ax1,O,2.6.2点的投影变换,1.点的一次换面,求新投影的作图方法：,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,作图规律,（1）新投影体系的建立,A,a,V,H,a,ax,X,按次序更换,2.点的二次换面,（2）求新投影的作图方法,a,a,X,V,H,作图规律：a2a1X2轴；a2ax2=aax1,ax,二次换面作图步骤：,1）定出新投影轴O1X1；,2）根据点的换面规律，求出新投影a1；,3）作新投影轴O2X2；,4）根据点的换面规律，求出新投影a2;,5）a2即为变换后的新投影。,o,1.当更换一次投影面不足以解决实际问题时，可以采取更换两次或更多次投影面。,总结说明,2.在多次更换投影面时，新投影面的选择必须符合前述的两个条件外，还必须是在一个投影面更换完之后，在新的两面体系中交替地再更换另一个。,2.6.3直线的投影变换,1.一般位置直线变换为投影面平行线,能反映直线的实长和对投影面的倾角。,X1,a,b,a,b,X,V,H,H,V,A,B,a,b,a,b,换H面行吗？,不行！,作图：,新投影轴的位置？,与ab平行。,【例】求直线AB的实长及与H面的夹角。,空间分析：,用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB/V1。,X,O,【例】已知直线AB的两投影ab、ab，试求直线AB的实长和对V面的夹角。,a,b,a,b,X,V,H,O,a1,b1,实长,直角三角形法,特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位置直线则不能。,除用换面法外，还可用直角三角形法