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利用反证法证明圆锥曲线的光学性质迤山中学 数学组贾浩2014.1.1利用反证法证明圆锥曲线的光学性质反证法又称归谬法，是高中数学证明中常用的一种方法。利用反证法证明问题的思路为：首先在原命题的条件下，假设结论的反面成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而说明假设不成立，则原命题得证。在光的折射定律中，从点发出的光经过直线折射后，反射光线的反向延长线经过点关于直线的对称点。下面结合光的折射定律，利用反证法证明圆锥曲线的光学性质。一、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点上。该命题证明如下：已知椭圆的两个焦点分别为、，为椭圆上的一个点，过点作椭圆的切线，关于切线的对称点为，证明：、三点共线。证明 假设不在、所在的直线上，连接、，交椭圆于。则，由，得，则又由， 得 ，则。这与上式矛盾。因此，、三点共线。二、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。该命题证明如下：已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线右支上的一个点，过点作双曲线的切线，关于切线的对称点为，证明：、三点共线。证明 假设不在、所在的直线上，连接、，交椭圆于。则，由得。又由， 得 ，则。这与上式矛盾。因此，、三点共线。三、抛物线的光学性质从抛物线的焦点出发的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的轴。该命题证明如下：已知抛物线焦点分别为，直线为抛物线的准线，为抛物线上的一个点，过点作直线的垂线，垂足为。过点作抛物线的切线，关于切线的对称点为，证明：、三点共线。证明 假设、三点不共线，由，得。又因为直线，故在直线右侧。过作直线的垂线，交抛物线于点，交直线于，则，由抛物线的定义得，则由在切线右侧得，这与上式矛盾。因此，、三点共线。 在上述的证明过程中，没有利用圆锥曲线的方程，只利用了教材中
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