2.2 矩阵运算_第1页
2.2 矩阵运算_第2页
2.2 矩阵运算_第3页
2.2 矩阵运算_第4页
2.2 矩阵运算_第5页
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文档简介

1,一、矩阵的加法,二、数与矩阵相乘,三、矩阵与矩阵的乘法,第二节,矩阵的运算,第二章,四、矩阵的转置,2,一、矩阵的加法与数量乘法,设A=(aij)mn,B=(bij)mn,设,称,C=A+B.,为矩阵A与矩阵B的和，记为,注意,1)矩阵的加法是两个同型矩阵对应位置上的元素相加.,1.加法,3,例1,设,则,4,2、数乘矩阵,设,为实数，,数乘矩阵的每个元素。,定义2,称此矩阵为常数,负矩阵,5,3、矩阵减法,求,解,例2,6,加法运算律:,数乘运算律:,7,例3,求矩阵,使,解:原方程为,8,定义3,设,的乘法，即,其中,，,称,二、矩阵的乘法（重点）,9,注意,只有当“左列数=右行数”时，两个矩阵才能相乘。,例4设,求AB.,解,10,例5设,求AB、BA.,解,11,例6求矩阵,的乘积AB及BA.,解由定义有,12,(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.,在作乘法时,应指明它们相乘的次序.,如AB读作“A左乘B”或“B右乘A”.,如例6中AB和BA虽然都有定义,但ABBA.,即使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.,AB有定义,BA不一定有定义.,关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:,(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.,例如AO,BO,但BA=O.,13,1)结合律(AB)C=A(BC);,(B+C)A=BA+CA;,2)分配律A(B+C)=AB+AC,运算规律,k(AB)=(kA)B(其中k为数).,14,n阶单位矩阵E在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与“1”在初等代数中的作用相似.,15,于是有EA=AE=A.,16,若A是n阶方阵，,方阵的幂：,并且,则Ak为A的k次幂，即,特别：,17,若,则,的意义规定为,例如：设,矩阵多项式,18,用矩阵表示线性方程组,设有n个未知量,的线性方程组,（1.1）,解：根据矩阵相等的定义有,19,将左边的矩阵表示为两个矩阵的乘积得：,系数矩阵,未知数矩阵,常数矩阵,称（1.2）为方程组(1.1）的矩阵表示式.,注意:,上述表A中的每一行都与方程组中确定的方程对应，,每一列都与方程组中确定的未知数的系数（或常数项）,对应。,就是说，数表中的每一个数都有确定的位置。,而确定的位置表示了确定的含义。,20,三、矩阵的转置,定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,例,21,转置矩阵的运算性质,22,例2.12设,解方法一,求(AB)T.,所以,23,方法二,24,例13,解,利用转置矩阵的性质,简化并计算,25,定义,设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,五、对称与反对称矩阵,26,方阵的行列式,由n阶方阵A的元素
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