3.2.2用向量的方法求二面角

课题：利用向量方法求二面角,四、教学过程的设计与实施,2、如何作二面角l的平面角？,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，这两个半平面叫做.,二面角,二面角的棱,二面角的面,1、二面角的定义：,与面,如图，是直角梯形，,所成的二面角的余弦值。,求面,你能找到所求二面角的棱吗？,探究新知,问题：二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没有关系？,探究新知,探究新知,问题：法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补。再次演示课件,探究新知,细心想一想，你将有新发现！,尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为()A.45B.135C.45或135D.90解析即m,n=45，其补角为135.两平面所成二面角为45或135.,C,练一练,例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBFB1，(1)求二面角CDEC1的正切值；(2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值,结论：,利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。,利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：,建立坐标系,例2：如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ABADPB3.点E在棱PA上，且PE2EA.求二面角ABED的余弦值,练习：若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值,小结：,1.利用法向量求二面角大小的优势：,避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。,2.利用法向量求二面角大小的关键：,确定相关平面的法向量。,3.利用法向量求二面角大小的缺点：,计算量相对比较大。,当堂检测,与面,如图，是直角梯形，,所成的锐二面角的余弦值。,求面,例题精讲,【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性,解：,则,建立如图所示的空间直角坐标系,则,启示：,求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。,是平面SAB的法向量，,就是二面角的平面角，,所求锐二面角的余弦值为：,令z=1解之得,结论：,利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量。,利用法向量求二面角的平面角的一般步骤：,建立坐标系,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求锐二面角ADQA1的余弦值,巩固练习：,小结：,1.利用法向量求二面角大小的优势：,避免了繁难的作、证二面角的过程，将几何问题转化为数值计算。,2.利用法向量求二面角大小的关键：,确定相关平面的法向量。,3.利用法向量求二面角大小的缺点：,计算量相对比较大。,课后思考（2009天津理，19）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE;(3)求锐二面角ACDE的余弦值.(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得B(1,0,0),C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.,(2)证明,又AMAD=A，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.,(3)解设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，