函数和导数复习(1)

.函数与导数复习（1）学习目标：理解基本函数的性质（函数值，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像性质）理解导数的几何意义导数公式运算法则，利用导数求单调性和极值。一、概念回顾二、重点难点分析1、函数的零点和极值点2、利用导数求函数的单调性3、函数的图像（对称性和特殊点，构造函数解决问题）三、例题精选1.函数的零点个数为（ ）A 0 B 1 C 2 D 3 2设函数，则（ ） A为的极大值点 B为的极小值点C为的极大值点 D为 的极小值点【解析】，令，则 当时，； 当时， 即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的 所以是的极小值点故选D3.已知函数曲线在点处的切线与轴平行。考点：导数，几何意义，单调性。解：（）（） （） 因为 所以 由（） 求导得 所以 当 当所以 当又 当所以 当综上所述结论成立。4（本小题满分12分）已知函数（）讨论的单调性；（）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。解：（1）依题意可得当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增；当即时，有两个相异实根且故由或，此时单调递增由，此时此时单调递增递减综上可知当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。（2）由题设知，为方程的两个根，故有因此同理因此直线的方程为设与轴的交点为，得而由题设知，点在曲线的上，故，解得或或所以所求的值为或或。【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。5（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。练习（8）函数的单调递减区间为（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】故选B9设定义在R上的函数是最小正周期为2的偶函数，是的导函数当x0, 时，01； 当x（0，） 且时 ，0 则函数在-2，2 上的零点个数为（）A 2 B 4 C 5 D 8 【答案】【解析】由当x（0，） 且x时 ，知又时，0f(x)1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在-2，2 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.6（本小题满分12分）已知函数的部分图像如图5所示.（）求函数f（x）的解析式；（）求函数的单调递增区间.【解析】（）由题设图像知，周期.因为点在函数图像上，所以.又即.又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为（）由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.练习2函数在区间上的零点的个数为A2 B3 C4 D57已知定义在区间上的函数第6题图O12x的图象如图所示，则的图象为AO12xBO12xCO12xDO12x1. 函数的一个零点是（ ）A B C D考点：三角函数的对称性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。解答：令，则,当时，。练习3（本小题满分12分）设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （）求函数的最小正周期； （）若的图象经过点，求函数的值域. 练习4（本小题满分14分）设函数，为正整数，a，b为常数. 曲线在 处的切线方程为.（）求a，b的值；（）求函数的最大值；（）证明：.18解：（）因为. 由直线是图象的一条对称轴，可得， 所以，即 又，所以，故. 所以的最小正周期是. （）由的图象过点，得，即，即. 故，函数的值域为.22解：（）因为，由点在上，可得，即. 因为，所以. 又因为切线的斜率为，所以，即. 故，.（）由（）知，.令，解得，即在上有唯一零点. 在上，故单调递增；而在上，单调递减.故在上的最大值为. （）令，则.在上，故单调递减；而在上，单调递增.故在上的最小值为. 所以，即. 令，得，即，所以，即.由（）知，故所证不等式成立. 9（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为。（I）求函数的解析式；（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：（I）在上恒成立，且能取到等号 在上恒成立，且能取到等号 在上单调递增 （lfxlby）（II） 当时，在上单调递增 在上有唯一零点 当时，当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，时，在上有唯一零点 由得：函数在内有两个零点。（lfxlby）练习5已知函数.（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递减区间. 练习6.（本小题13分）已知函数（），.（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，）处具有公共切线，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值为28，求的取值范围.练习7（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（II）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I） 当且仅当时，的最小值为 （II）由题意得： 由得：10（本小题满分13分）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列；（）设的前项和为，求。【解析】（I） 得：当时，取极小值 得： （II）由（I）得： 当时， 当时， 当时， 得： 当时， 当时， 当时，练习8设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是【答案】：C【解析】：由函数在处取得极小值可知，则；，则时，时【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题 练习9（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值 【答案】：（）（）【解析】：（）因 故 由于 在点 处取得极值故有即 ，化简得解得（）由（）知 ，令 ，得当时，故在上为增函数；当 时， 故在 上为减函数当 时 ，故在 上为增函数。由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用（1）先对函数进行求导，根据=0，求出a，b的值（1）根据函数=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值再代入原函数求出极大值和极小值（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值10.（本题满分15分）已知aR，函数（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】（1）由题意得，当时，恒成立，此时的单调递增区间为.当时，此时函数的单调递增区间为.(2)由于，当时，.当时，.设，则.则有01-0+1减极小值增1所以.当时，.故.练习11曲线在点（1,1）处的切线方程为_【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.【解析】，切线斜率为4，则切线方程为：.12（本小题满分12分）设函数f(x)= exax2()求f(x)的单调区间()若a=1，k为整数，且当x0时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；（III）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记；求函数在区间上的最小值。【解析】() 或， 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为() 函数在内单调递增，在内单调递减 原命题（lfxlby）（III）当时，在上单调递增,在上单调递减当 当 得：函数在区间上的最小值为（lfxlby）13（本小题满分14分） 设函数（）设，证明：在区间内存在唯一的零点；（）设为偶数，求b+3c的最小值和最大值；（）设，若对任意，有，求的取值范围【解析