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第二章非线性方程数值解,1基础知识,求f(x)=0的根,其中f(x)为非线性函数。,此类问题在工程和科学计算中，此类问题广泛存在。,当f(x)为代数多项式时，称为代数方程，否则为超越方程。,x1,x2,a,b,x*,2,优点：简单;对f(x)要求不高(只要连续即可).,缺点：无法求复根及偶重根收敛慢,迭代法是数值计算中的一类重要方法，应用广泛。,迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。,2迭代法,的不动点,由此也称为不动点迭代法，,迭代法的一般形式：,.,若收敛，即存在x*使得，且连续，则由可知，即是的不动点，也就是f的根。,从一个初值出发，计算,(I)当xa,b时，(x)a,b；(II)0L1使得则任取x0a,b，由xk+1=(xk)得到的序列收敛于(x)在a,b上的唯一不动点。并且有误差估计式：,(k=1,2,),k,考虑方程x=(x),(x)Ca,b,若,定理1,注1,不动点唯一,当k时，xk收敛到x*？,证明：(x)在a,b上存在不动点,注：事实上，定理3是充分必要的，即另有结论：,两个迭代值组合的方法：,三个迭代值组合的方法：,P(x0,y0),P(y0,z0),3牛顿法,引入：将非线性方程线性化Taylor展开,取x0x*，将f(x)在x0做一阶Taylor展开:,，在x0和x之间。,将(x*x0)2看成高阶小量，则有：,（fC1，f(x*)0）,单根情形,定理1,（收敛的充分条件）设fC2a,b，若f(a)f(b)0；则NewtonsMethod产生的序列xk收敛到f(x)在a,b的唯一根。,定理2,（局部收敛性）设fC2a,b，若x*为f(x)在a,b上的根，且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任取初值，NewtonsMethod产生的序列xk收敛到x*，且满足,证明：NewtonsMethod事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则,收敛,由Taylor展开：,只要f(x*)0，则令可得结论。,重根情形,原理：若由xk得到的xk+1不能使|f|减小，则在xk和xk+1之间找一个更好的点，使得。,求复根Newton公式中的自变量
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