材料力学材料力学部分课件弯曲内力

材料力学,第五章弯曲内力,材料力学,(一)、平面弯曲的概念,弯曲杆件受到垂直于杆的轴线的外力即横向力或受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线由直线弯成曲线。,梁以弯曲为主要变形的杆件。,弯曲内力/引言,一、引言,材料力学,弯曲内力/引言,材料力学,q,弯曲内力/引言,材料力学,工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：,弯曲内力/引言,材料力学,M,弯曲后梁的轴线（挠曲线）,平面弯曲梁的挠曲线与载荷作用面共面。,弯曲内力/引言,纵向对称面通过梁轴线和截面对称轴的平面。,材料力学,车床主轴示意图,1、支座的几种基本形式,（二）、梁的支座和梁的种类,材料力学,材料力学,2、静定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。,（a）简支梁(Simplysupoortedbeam),（b）悬臂梁(Cantileverbeam),（c）外伸梁(Overhangingbeam),（d）静定组合梁,弯曲内力/引言,材料力学,3、静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。,弯曲内力/引言,材料力学,二、剪力和弯矩,求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。,x,解：,1、根据平衡条件求支座反力,2、截取m-m截面左段。,A,x,M,剪力使截面不产生移动,弯矩M使截面不产生转动,得到：,o,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,得到：,如截取m-m截面右段梁:,L-x,B,b,M,由作用力与反作用力，得,3、根据变形规定内力符号：,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。,内力正负号规则：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,剪力：,梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪力为正，反之则为负。概括为“左上或右下，剪力为正”。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。,压,拉,或者,梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺或右逆，弯矩为正”。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,例5-1一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,2、求C截面（跨中截面）上的内力,得到：,（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）,得到：,（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,如以右侧梁作为研究对象，则：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,取左段梁为研究对象:,取右段梁为研究对象:,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。,取左段梁为研究对象:,取右段梁为研究对象:,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。,截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,解：,1、根据平衡条件求支座反力,例5-2一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面和上的内力。,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,2、求指定横截面上的剪力和弯矩,C截面：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,截面：,与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：,弯曲内力/剪力和弯矩,材料力学,三、剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。,因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即,称为剪力方程和弯矩方程,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,*在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化。,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。,*控制截面的概念：外力规律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,x,x,(+),(+),(-),(-),剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。,注意：必须标明控制截面上的内力值,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,例5-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。,取参考坐标系Axy。,解：,1、列出梁的剪力方程和弯矩方程,AB段:,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,BC段:,m=Pa,2、作梁的剪力图和弯矩图,-P,Pa,(+),(-),3、求和,（在BC段的各截面）,（在AB段的各截面）,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,注意：,1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。,2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。,3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。,解：,1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,2、列出梁的剪力方程和弯矩方程,CA段:,AB段:,x,弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,3、作梁的剪力图和弯矩图,-qa,(-),(-),(+),(-),E,(+),弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,材料力学,四、弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。,规定向上的q(x)为正。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,考察dx微段的受力与平衡,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,（4-4）,由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。,材料力学,略去二阶微量，得：,（4-5）,由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力FQ。,材料力学,由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的载荷集度q的符号决定。,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,内力FQ、M的变化规律,归纳如下：,载荷,水平直线,or,or,上斜直线,上凸抛物线,下凸抛物线,下斜直线,(剪力图无突变),F处有尖角,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,斜直线,材料力学,例5-5一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,解：,1、根据平衡条件求支座反力,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,2、由微分关系判断各段的形状。,载荷,CA,DB,AD,斜直线,斜直线,弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,A,B,1m,1m,4m,F=3KN,C,D,3、作-图。,4、作M-图。,CA段：,(-),DA段：,-3KN,4.2KN,-3.8KN,(+),(-),DB段：,-3KN.m,(-),E,x,-2.2KN.m,(-),3.8KN.m,(+),(+),弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系,材料力学,例5-6已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。,载荷,AB,CD,BC,斜直线,斜直线,材料力学,五、平面刚架内力图,材料力学,刚架的组成横梁、立柱与刚节点。,刚节点：受力以后，刚节点处夹角保持不变。刚节点能承受力与力矩。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,*内力分量的正负号与观察者位置的关系：,面内载荷作用下，刚架各杆横截面上的内力分量轴力、剪力和弯矩。,刚架内力的特点：,有关,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,例5-8求作图示平面刚架的内力图。,解：,1、根据平衡条件求得支座反力,2、作内力图,轴力,立柱CA：,横梁CB：,作轴力图。,FN,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,剪力,求控制截面1、2、3、4上的剪力。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,弯矩,立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为,作弯矩图。,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,节点处的平衡关系,弯曲内力/平面刚架内力图,材料力学,刚架内力图的画法,(3)弯矩的数值标在受压边，轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需标出正负号；,(1)无需建立坐标系；,(2)控制面、平衡