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文档简介

一、二元函数的泰勒公式,二、极值充分条件的证明,一、二元函数的泰勒公式,一元函数,的泰勒公式:,推广,多元函数泰勒公式,记号说明,(设下面涉及的偏导数连续):,一般地,表示,表示,表示,定理1,设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有直,到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任,一点,则有,其中,称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,Rn称为其拉格朗日,型余项.,证明令,则,利用多元复合函数求导法则可得:,一般地,由,的麦克劳林公式,得,将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.,说明,(1)余项估计式.,因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭,邻域其绝对值必有上界M,令,则有,(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:,(3)若函数,在区域D上的两个一阶偏导数,恒为零,由中值公式可知在该区域上,例1求函数,解,的三阶泰,勒公式.,因此,时,具有极值,二、极值充分条件的证明,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则:1)当,A0时取极小值.,2)当,3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,若函数z=f(x,y)在点(x0,y0),定理2(充分条件),证明由二元函数的泰勒公式,并注意,则有,由于z=f(x,y)的二阶偏导数在点(x0,y0)连续，所以,其中,是当h0,k0时的无穷小量,于是,(1)当ACB20时,必有A0,且A与C同号,可见,当A0时，Q(h,k)0，,从而z0,因此f(x,y),在点(x0,y0)处有极小值；,因此当|h|，|k|很小时，z的正负号可由Q(h,k)确定.,当A0时，Q(h,k)0，从而z0,(2)当ACB20时,若A,C不全为零,无妨设A0,则,时,有Ah+Bk=0,故Q(h,k)与A异号;,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,因此f(x,y),在点(x0,y0)处有极大值.,当(x,y)沿直线A(xx0)+B(yy0)=0接近(x0,y0),故Q(h,k)与A同号;,当(x,y)沿直线yy0=0接近(x0,y0)时，k=0,因此f(x,y),在点(x0,y0)处无极值.,+,+,若A=C=0,则必有B0,不妨设B0,此时,可见z在(x0,y0)邻近有正有负,对点(x0+h,y0+k),因此f(x,y)在点(x0,y0)处无极值.,(3)当ACB2=0时,不能确定是否有极值.,考察函数,和,容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点(0,0),
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