连续型随机变量及密度函数

在上节我们研究了离散型随机变量，它取值是有限个或可列个，这当然有很大的局限性，在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地气温”，“某型号显象管的寿命”，“某矿石的含铜量”，等它们取值可以充满某一区间，由于取值不可以一一列举，因此不可以象离散型那样写出分布列。因而我们研究随机变量在任意区间的概率。因为,所以只须知道,x1,X,x2,2-3连续型随机变量及其概率密度,1、分布函数的定义,定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P(Xx)称为X的分布函数。,对于任意x1,x2,(x1x2)有P(x1Xx2)=P(Xx2)P(Xx1)=F(x2)F(x1)由于分布函数的引入,便可以运用数学分析的方法来研究随机变量.,说明,一、随机变量的分布函数,2、分布函数的性质,（2）.(有界性)0F(x)1，且,（1）单调不减性x1x2,则F(x1)F(x2),（2）F(x)=P(Xx)，由概率性质0P(Xx)1所以0F(x)1,（1）x1x2，F(x2)F(x1)=P(x1Xx2)0则F(x1)F(x2),证明,例1.已知随机变量X的概率分布为试求其分布函数,解,当x1时，F(x)=P(Xx),解.,题目：已知随机变量X的概率分布为试求其分布函数,所以，F(x),当1x2时，F(x)=P(Xx),当2x3时，F(x)=P(Xx),当x3时，F(x)=P(Xx),=P()=0,=P(X=1)=0.2,=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5,=P()=1,解,解,课内练习袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5从中任取3球,求3个球中最大号码X的概率分布和分布函数.,解,1,2,3,4,5,X=3，4，5,样本空间基本事件总数,同理“X=5”占有基本事件,球,二、连续型随机变量及其慨率密度,例1一个半径为2米的圆靶，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击均能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。,解,解若x0,则Xx是不可能事件，于是F(x)=P(Xx)=0若0x2,由题意P(0Xx)=kx2,k待定取x=2，P(0X2)=4k而事件0X2是必然事件P(0X2)=1，所以4k=1，得k=1/4即P(0Xx)=x2/4于是F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=x2/4若X2，由题意Xx是必然事件于是F(x)=P(Xx)=1,综合上述，即得X的分布函数为,它的图形是一条连续曲线，如上右图所示,这说明F(x)恰好是非负可积函数f(x),在(，x)的积分，在这种情况下我们称X为连续型随机变量。f(x)为X的概率密度。,1.定义,2.性质:,证明,（1）由定义f(x)0；,说明,X为连续型随机变量在任意x0处，概率P(X=x0)=0,P(X=x0)=0,并不意味着事件X=x0是不可能事件。一般概率为零的事件不一定是不可能事件，同样概率为1的事件也不一定是必然事件。,（2）X为连续型随机变量在任意x0处概率为零，故,解,（4）,解,解,(1)试确定常数A;(2)求X的分布函数F(x);(3)求概率P(|X|1/2).,课内练习1已知随机变量X的密度函数,解,二、几种常用的连续型随机变量的分布,1.均匀分布,例4.X在区间a,b服从均匀分布.求(1)X的分布函数F(x)；(2)作出F(x),f(x)的图形。,解,X的概率密度为,(1),(2),例5.(候车问题)公共汽车站每隔10分有一辆公共汽车通过,乘客到公共汽车站的时间是等可能的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率(假设公共汽车一来乘客必能上车)。,解,解设刚开走的汽车是在t0时刻,于是下一部汽车将在t0+10达到,又设乘客达到汽车站时间为X,由题意X在t0,t0+10上是均匀分布的于是其概率密度,“候车不超过3分钟”等价“t0+7xt0+10”,2.正态分布,定义若随机变量X的概率密度为,（1）定义,(2)图形,XN(,2)密度函数,图形关于x=对称。X单调减，,X=时有最大值M=,固定,变小,图形陡峭变大,图形平坦.,固定,增大图形往右平移，减小图形往左平移,XN(,2）,(3)计算,.当XN(0,1),例如查表可得,(x),0.8643,.一般若XN(,2),XN(2,22)，=2，=2,例6设XN(2,4)，求X落在3,1区间上的概率P(3X1)。,解,例7.设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2),欲使P(120X200)不小于0.8,允许最大为多少？,解,题目：设某批电子元件的寿命X服从正态分布N(160,2),欲使P(120X200)不小于0.8,允许最大为多少？,解,课内练习2填空题,解,0.3,0.3,0.2,(4)正态分布适用范围,正态分布是概率统计中最重要的分布，一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布，例如测量的误差，炮弹弹落点的分布，电子管或半导体器件中热噪声电流和电压，人的生理特征的尺寸：身高，体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径，长度，宽度，高度；都近似服从正态分布。一般说来，若影响某个数量指标的随机因素很多，而每个因素所起