ch5控制系统的稳定性分析

5-2系统稳定的充要条件,第五章控制系统的稳定性分析,5-1控制系统的稳定性分析,5-3代数稳定性判据,5-7系统的相对稳定性,5-4乃奎斯特稳定判据,5-5乃氏稳定判据分析延时系统的稳定性,5-6伯德图判据,一、稳定性的概念,定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。,上述稳定是“渐近稳定”的,“线性”系统通常是线性化的,因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论,总结,5-1线性系统的稳定性,稳定的摆,不稳定的摆,5-1线性系统的稳定性,1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。,跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。,5-1线性系统的稳定性,无限放大直到饱和,无输入时因干拢直至饱和,5-1线性系统的稳定性,控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。,(a)外加扰动,注意：以上定义只适用于线形定常系统。,稳定性的定义,5-1线性系统的稳定性,(b)稳定,(c)不稳定,注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。,5-1线性系统的稳定性,大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。,(a)大范围稳定,5-1线性系统的稳定性,(b)小范围稳定,否则系统就是小范围稳定的。,注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。,5-1线性系统的稳定性,(a)不稳定,5-1线性系统的稳定性,临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。,注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。,原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。,5-1线性系统的稳定性,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。,稳定的条件：,稳定的充要条件,5-2稳定的充要条件,理想脉冲函数作用下R(s)=1。,对于稳定系统,t时,输出量c(t)=0。,5-2稳定的充要条件,由上式知：如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0。,5-2稳定的充要条件,自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。,注意：稳定性与零点无关,系统特征方程,5-2稳定的充要条件,结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。,5-2稳定的充要条件,某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数；为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。,由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为,令,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。,无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。,结构不稳定系统,校正装置,下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题,根据以上分析，系统的稳定性判别归结为：,问题：系统的闭环特征方程：解高阶微分方程求根困难，能否不解高阶微分方程可以知道根分布情况？,如果系统的闭环特征根至少有一个根Si0或复根时它的实部-kk0即根平面的右半面有闭环特征根，那麽系统闭环是不稳定的。,5-2稳定的充要条件,系统稳定的必要条件,设系统特征根为p1、p2、pn-1、pn,各根之和,每次取两根乘积之和,每次取三根乘积之和,各根之积,全部根具有负实部,5-3代数稳定性判据,反之，如果系数ai全部同号则不能确定系统是稳定的；进入第二步继续判别；,闭环特征方程：,1、闭环特征方程如果系数ai不是全部同号或有等于零的项（缺项），则系统不稳定；,5-3代数稳定性判据,一、劳斯判据,分母都是第一列的元素，如第三行第二列,劳斯阵列表:,2、建立劳斯阵列表,3、判别劳斯阵列表第一列系数第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。,5-3代数稳定性判据,注：通常a00，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。,例：,5-3代数稳定性判据,例：,1、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；,2、建立劳斯阵列表,因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。,又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在S平面的右半面。,该系统有五个根：-2.04610.73361.1577i-0.71050.8922i,5-3代数稳定性判据,2、建立劳斯阵列表,1、闭环特征方程系数全部大于零，继续第二步；,该系统四个根：-1.8832-0.5310+0.20710.9783i,第一列元素等于零时，系统不稳定。用代替，可继续计算确定右半面的极点个数。,由于2-2/0，故认为变号两次，有两个极点在S平面的右半面。,+-+,5-3代数稳定性判据,劳思(routh)判据的特殊情况特殊情况1：第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为0,特殊情况：第一列出现0。,各项系数均为正数,解决方法：用任意小正数代之。,特殊情况1：第一列出现0,5-3代数稳定性判据,特殊情况：某一行元素均为0,解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。,各项系数均为正数,求导得:,例如：,特殊情况2：某一行元素均为0,5-3代数稳定性判据,二、劳斯判据的其他应用,1、确定系统稳定时的参数取值范围,2、确定系统稳定裕量用(S-)代替S，如果用ROTH判据判断仍能稳定，则表明该系统至少有稳定裕量,带参数计算ROTH阵列表第一列元素；令含参数的元素大于零，得到系统稳定时的参数取值范围,5-3代数稳定性判据,5-3代数稳定性判据,估计稳定裕量,例4,S3117S2711S10S0110,设S=S0，若0=1,用S=S1代入,此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。,5-3代数稳定性判据,5-4乃奎斯特稳定性判据,系统的开环频率特性Gk(j)G(j)H(j)来判断系统特征方程1+G(s)H(s)0的特征根是否具有全部负实部的根,用分析或实验的方法来求得系统的频率特性，另外在用Nyquist判据我们还能指出系统稳定性的储备即相对稳定，因此利用它来判断系统的稳定性,一、米哈伊洛夫定理,1.定理：设n次多项式D(s)有p个零点位于复平面的右半平面，q个零点在原点上，其余n-p-q个零点位于左半平面，则当以s=j代入D(s)并令从0时，D(j)的角增量为：,5-4乃奎斯特稳定性判据,则当以s=j代入D(s)并令从0时，D(j)的角增量为：,实根情形,n-p-q个零点位于左半平面,共轭虚根情形(01),设根位于左半s平面,当由0变化到时，,j+p1的相角变化范围：-0/2,变化量：/2+0,j+p2的相角变化范围：0/2,变化量：/2-0,共轭虚根情形(01时，从0曲线包围（-1，j0）点1/2圈，则系统稳定；当K1,系统闭环后，r(t)-b(t)越来越大，系统不稳定,系统稳定必须：A()=1时()-180()=-180时A()0；3）对数相频特性从一开始就为180时，为半次穿越；4）在P=0，且c,g只有一个时，cKf时包围(-1,j0)点，使系统不稳定,KKf,相对稳定性用两个参数来衡量：,1)在=c处，|G(j)|=1,若系统稳定g=180+(j),应0,2)在=g处，(j)=-180,若系统稳定Kg=1/A(),应1,g称为相角稳定裕度（g越大相对稳定性越好）Kg称为幅值稳定裕度（Kg越大相对稳定性越好）,幅值穿越频率,相角穿越频率,相对稳定性是用两个参数来衡量的，稳定性度大，必须两个参数都要大,在Bode图中，稳定裕度描述如图：,稳定裕度在Bode图中的描述,因为，在对数幅频特性图中，纵坐标是用增益刻度，所以，幅值稳定裕度Kg用Kg(dB)=20lg(1/A()来表示,因此，和Kg一致，h越大，则相对稳定裕度就越大,上图系统0,h0,闭环是稳定的,相角稳定裕度&幅值稳定裕度,对于闭环系统来说，若稳定，则和Kg(db)均为正,二、注意事项,为使这样的系统具有满意的稳定性储备：一般希望r=3060；Kg(dB)6db即Kg2。在实际中两者都要有一定的储备，如P138例16必须同时考虑相位裕量和幅值裕量Kg，见书上P139例题。,对数判据有以下优点：,Bode图易作，且可通过渐近线粗略估计稳定性。很容易判别各环节对系统稳定性的影响，有利于对参数进行合理选择或校正。调整增益K时，只需将对数幅频特性曲线上、下平移即可，因此，很容易得到