D88多元函数的极值及其求法

,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第八节多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,二、最值及最值的应用问题,三、条件极值,复习回顾,1一元连续函数的极值,必要条件：,第一充分条件：,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,第二充分条件：,为极大值,为极小值,定义:,为极大值,为极小值,最值点应在极值可疑点和边界点上找,常根据问题的实际意义判别,2一元连续函数的最值,闭区间上连续函数的最值,实际问题中的最值,对于多元函数，该如何计算其极值与最值?,一、多元函数的极值,定义:,则称函数在该点取得极大值,例如:,在点(0,0)有极小值;,在点(0,0)有极大值;,在点(0,0)无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,定义,(极小值).,的某邻域内有,若对该邻域内异于的任何点,都有,设函数,注:,例如,定理1(必要条件),函数,偏导数,证明:,取得极值,取得极值,但驻点未必是极值点.,且在该点取得极值,则有,存在,故,(2)可导函数极值点必为驻点,同理,(1)偏导数都为0的点称为驻点.,(3)可疑的极值点：,驻点、,偏导数不存在的点,又如,在点(0,0).,在点(0,0),时,定理2(充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则:,A0时取极小值.,(2),(3),(证明略),时,时,若函数,且,(4)定理1的条件下,平行于xoy面的切平面.,取得极值,不取得极值.,不能确定,需另行讨论.,(1)当,当,当,曲面z=f(x,y)在极值点处有,例1,求函数,解:,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,第一步求可能的极值点,极小值,极大值,无极值,无极值,驻点,结论,第三步判断,例2讨论函数,及,是否取得极值.,解:,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,而,时，,显然(0,0)都是它们的驻点,二、最值及最值应用问题,函数f在有界闭域上连续,函数f在有界闭域上必取得最值,最值可疑点,驻点或偏导数不存在的点,边界上的最值点,特别,为极小值,为最小值,(大),(大),在,上的最值.,如求函数,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,例3,解:,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,设水箱长、宽分别为x、ym,则高为,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法1,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制,如例3,化为无条件极值问题,若设水箱长、宽、高分别为x,y,zm,则,即求A在条件,下的极值.,将,代入目标函数就转化为无条件极值问题.,方法2拉格朗日乘数法.,例如,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,求函数,下的极值.,在条件,步骤:,拉格朗日函数,例4,求表面积为a2,则问题就是,令,解方程组,解:,下求函数,的最大值,在条件,长方体的体积.,而体积最大的,设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,得唯一驻点,由问题本身可知最大值一定存在,相等时，长方体体积最大.,因此,当长、宽、高,即长方体的表面积为a2时，,以棱长为的正方体的体积最大，,最大体积为,内容小结,1函数的极值问题,第一步利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,2函数的条件极值问题,(1)简单问题化为无条件极值问题,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件),3函数的最值问题,在条件,求驻点.,1已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点C,使,ABC面积S最大.,解答提示:,设C点坐标为(x,y),则,思考与练习,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点C与E重合时,三角形,面积最大.,2求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.,分析:,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为