D5习题课1-定积分及其相关问题

,习题课,一、有关定积分概念和性质的问题,二、有关定积分计算的问题,定积分及其相关问题,第五章,三、广义积分,一、有关定积分概念和性质的问题,1.用定积分概念与性质求极限,2.用定积分性质估值,3.与变限积分有关的问题,例.求,解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,例.证明,证:令,则,令,得,故,解：,例.,设,求,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,设,证：,试证:当,目录上页下页返回结束,时,=o().,所以=o().,洛,例.,例.,求可微函数f(x)使满足,解:等式两边对x求导,得,不妨设f(x)0,则,注意f(0)=0,得,例.用定积分表示下述极限:,解:,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为0!,例.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明1：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,明对于任何,证明2：,(用积分中值定理),则,由于,在,上单调递减，,所以函数,单调递减.,所以,即,令,二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法,2.有关定积分命题的证明方法,思考:下列作法是否正确?,3.几个重要结论,(1),偶倍奇零,(2),(3)设f(x)是周期为T的连续函数，则,(4),(6),(5),n为偶数,n为奇数,例.求,解:法一,则,原式,令,令,则,原式,法二,例.计算积分,原式=,=,解：,例.计算积分,解：令,(分部积分),例.选择一个常数c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择c使,即,可使原式为0.,解：,例.计算积分,解：,例.计算积分,例.若,解:令,试证:,则,并计算,因为,对右端第二个积分令,综上所述,则,由,得,例.设,求,解:,(分部积分),例.设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,得,例.证明,证：,是以为周期的函数.,是以为周期的周期函数.,证：,例.,右端,试证,分部积分,再次分部积分,=左端,三、广义积分,1.广义积分的概念,2.牛顿莱布尼兹公式,无穷限的广义积分,无界函数的广义积分,广义积分,例.,求广义积分,解：,原式=,所以原积分发散.,于是有,解：,原式=,解：,原式=,原式=,例10.,判断广义积分,解：,原式=,所以积分收敛,的敛散性,例.,解:,则,原式,解:,则,原式,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式,利用夹逼准则可知,1.求,思考与练习,2.,求极限,解：,原式,3.求极限,提示：,原式,左边,=右边,4.设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：,解:(1)记,并由此计算,则,即,(2),周期的周期函数,则有,5.求多项式f(x)使它满足方程,解:令,则,代入原方程得,两边求导:,可见f(x)应为二次多项式,设,代入式比较同次幂系数,得,故,再求导:,6.,且由方程,确定y是x的函数,求,解：方程两端对x求导,得,令x=1,得,再对y求导,得,故,7.设,解:,8.,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,(3)在(a,b)内存在与相异的点,使,证:(1),由f(x)在a,b上连续,知f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)内单调增,因此,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,9.设,证:设,且,试证:,则,故F(x)单调不减,即成立.,10.证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,11.,试证,使,分析:,即证,故作辅助函数,至少存在一点,即,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连