D24高阶导数、隐函数-h

,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,定义.,若函数,的导数,可导,或,类似定义三阶导数,n阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,分别记作,则称,设,求,解:,例1.,思考:设,问,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定0!=1,思考:,例3.设,求,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,例5.设，求,解:,二、高阶导数的运算法则,都有n阶导数,则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz)公式注,例6.,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,课堂练习,1.如何求下列函数的n阶导数?,提示:,提示:,(3),提示:令,原式,原式,解:,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,隐函数和参数方程求导,相关变化率,一、隐函数的导数,由,确定y是x的函数：,显函数：,例如：,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,隐函数：,隐函数求导方法:,两边对x求导,(含导数的方程),或者x是y的函数：,例1.求由方程,在x=0处的导数,解:方程两边对x求导,得,因x=0时y=0,故,确定的隐函数,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,切线:,即,例3.求,的导数.（幂指函数对数求导法）,解:两边取对数,（化为隐式）,两边对x求导,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个y与x之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成x是y的函数),关系,注：若,二阶可导,且由,确定的函数,可求二阶导数.,方法：由,练习1.设,且,求P1128（4）,解:,例4.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对t求导,得,故,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,解法:,找出相关变量的关系式,对t求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,例5.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为500m时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则,两边对t求导,已知,h=500m时,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,小结：第四节隐函数补充说明:,注意:,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,练习.其中1、2求导数,1.,2.,3.当气球升至500m时停住,有一观测者以,100mmin的速率向气球出发点走来,当距离为500m,时,仰角的增加率是多少?,4.设,由方程,确定，求P126.Ex11,5.6.,1、,两边取对数,两边对x求导,2、,对x求导,两边取对数,3.当气球升至500m时停住,有一观测者以,100mmin的速率向气球出发点走来,当距离为500m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对t求导,已知,求,4.设,由方程,确定,解:,方程两边对x求导,得,再求导,得,当,时,故由得,再代入得,求P126.Ex11,试求当容器内水,5.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻t容器内水面高度为x,水的,两边对t求导,而,故,体积为V,则,6.试从,导出,解：,同