IIR滤波器的设计方法

数字滤波器是具有频率选择性的离散线性系统，数字滤波器的设计步骤大体可分为以下三步：1.根据使用要求确定系统需要的各种性能指标（指容限、容差）通常在频域给出滤波器的容限、容差，如图所示。容限-指滤波器通带、阻带的最大衰耗和波动范围。容差-指通带、阻带容许的最大误差范围。,第六章IIR滤波器的设计方法,在通带内，幅度响应以误差逼近于1，即,在阻带中，幅度响应以误差而逼近于零，即,其中，、分别为通带和阻带截止频率。,2.用稳定的因果系统去逼近设计的系统函数系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。,逼近在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后得到一个因果、稳定并且可实现的传递函数，滤波器的设计实际上就是一个数学逼近的问题。,3.决定的实现方法（包括选择运算结构、运算制式及字长）因为数字滤波器是一种物理可实现的线性时不变系统，所以它是用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。选择的结构形式有：级联、并联、直接、横截、频率采样型等结构。本章和第五章主要解决第二个步骤的内容，也就是寻求滤波器传递函数设计的问题。,说明一下符号表示的含义：DF-数字滤波器AF-模拟滤波器,时域单位脉冲响序列时域的单位脉冲响应AF的采样序列DF的传递函数AF的传递函数DF的频率响应AF的频率响应,6.1IIR滤波器设计的特点,IIR滤波器的传递函数可以写成N阶的有理函数：,滤波器设计的核心是求传递函数，而的设计就是确定系数、，或者确定零点、极点，使得滤波器的满足给定的性能要求。,IIR指单位脉冲响应为无限长的滤波器，也就是指滤波器的有无限个离散值。,一.IIR滤波器的一般设计方法：,如果在单位圆内处设置一对共轭极点，频响在将有一峰值。,极点离单位圆愈远，频响在处的峰值比较平缓。极点越接近单位圆，频响在处的峰值就越尖锐。如果通带太窄，可以把极点向原点平移，如果通带太宽，可以将极点向单位圆移动。我们可以通过几次调整单位圆内极点的位置，去逼近符合设计要求的频响。,同样，如果在单位圆上处设置一个零点，那么频响在处会出现传输零点，传输零点可以实现陷波作用。,1.累试法滤波器的幅度特性和相位特性完全由其零点和极点位置所决定。,零、极点累试法在频域直接设计，可以完成一些简单的、阶数不高的滤波器的设计。,就是计算机优化设计，计算机优化设计的思想是借助计算机，使得所设计的滤波器的频响尽可能逼近理想的频响，即,2.最优化设计法,最优化设计一般分为两步进行：第一步：选择最优化标准或准则,例如，实际中常常要求滤除叠加在信号上的50HZ工频干扰，我们可以在处安排一个零点，就可以滤除掉50HZ的工频干扰。,DF的传递函数,通过改变的系数、，分别计算均方误差，经过多次迭代运算，寻找一组、，使得均方误差为最小的最优系数，而完成最优化设计。,第二步：进行迭代运算，确定最优系数,最小,选择一种最佳准则，使得与的均方误差最小或者最大误差最小。根据最小二乘法准则，要求,3.模仿模拟滤波器的设计,因为模拟滤波器的设计目前已经很完善，AF不仅有简单和严格的设计公式，而且它的设计参数也已经表格化了，所以很方便，因此，我们可以借助于模拟滤波器设计的成果来设计数字滤波器。在模拟系统中，利用工作参数综合法设计滤波器时，无论低通、高通、带通、带阻滤波器，均是先设计一个低通原型，然后经过某种频率变换完成要求设计的滤波器。即:,利用模拟滤波器设计数字滤波器，首先利用模拟滤波器的现成结果，在S平面设计出符合要求的模拟滤波器的传递函数，再通过一定的映射关系，得到数字滤波器的传递函数。,在进行IIR数字滤波器的设计时，要逼近模拟原型低通滤波器，模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示模特性。幅度平方函数可表示为：,二.最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法,1巴特沃思滤波器（butterworth）最平响应滤波器巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数定义为：,N为整数，表示滤波器的阶次；为截止频率。,当=0时，当时，有又称为滤波器的3bB带宽（或半功率点）。,当时，当时，又称为滤波器的3bB带宽,巴特沃斯低通滤波器的特点：在处，即靠近零频处，衰减为0，所以巴特沃斯滤波器通带内具有最大平坦的振幅特性，故得名为最平坦响应滤波器。巴特沃思低通滤波器没有有限零点,零点出现在处，它属于“全极点型滤波器”。,2切比雪夫滤波器(chebychev)切比雪夫滤波器也是一种全极点型滤波器，它的幅度平方函数,其中：表示通带波纹大小，是小于1的正数，越大，波纹越大。,为滤波器的截止频率，但并不是3db带宽）。,为N阶切比雪夫多项式，定义为：,切比雪夫低通滤波器的特点：通带内等起伏，通带外衰减快；由于过渡带较窄，因此相位特性较差。,3考尔滤波器(cauer),考尔滤波器的特点：通带内、外都是等起伏。由于过渡带较窄，因此相位特性较差。,四S平面到Z平面的映射变换,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器的传递函数设计数字滤波器的传递函数，即,这种变换归根结底是一个由S平面到Z平面的变换，并且通常是复变函数的映射变换，这种映射变换应该满足两个基本的要求：,的频响应该模仿的频响即要求,是因果稳定的映射指的因果稳定性通过映射后，仍保持因果稳定。,6.5脉冲响应不变法,根据容限设计好一个模拟滤波器后，就可对此模拟系统进行模仿。数字滤波器从什么角度去模仿模拟滤波器呢？第一种方法是脉冲响应不变法。,1.脉冲响应不变法,模拟系统,LTI系统特性可以完全由它的冲激响应决定,数字系统,脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器的脉冲响应在采样点上完全一样。即：,单位脉冲响应不变法的设计思想是：使数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。,2脉冲响应不变法设计的系统的频率响应,模拟系统频响数字系统频响,对模拟信号,拉氏变换,如果,当时，,采样序列的Z变换等于序列的拉氏变换,是采样信号的拉氏变换与采样序列的Z变换之间的映射关系,理想采样的频谱,采样信号的频谱就是采样信号在虚轴上的拉氏变换,是模拟信号的频谱以采样频率为周期的周期延拓,或,理想采样信号的频谱是单位圆上的Z变换它也等于数字信号的频谱。,因此，我们可以得到采样序列的频谱与原信号的频谱之间的映射关系为：,上式表明：当采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它实际上是完成了由S平面到Z平面的映射，我们利用以上关系同样可以得到数字滤波器的频响与模拟滤波器的频响之间的关系：,表达式表明：数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，为模拟滤波器频响的周期重复,是以为周期的周期延。,需要强调指出，在周期重复模拟滤波器频响的过程中所存在的问题：,首先分析一下和以及的关系：,注意：我们原本是让来模拟，但实际中由于，所以模拟的是采样信号的频谱，的映射关系反映的是和周期延拓后与之间的对应关系，而并不是和之间的关系。,如果模拟信号不充分带限，这种周期重复就不可避免的存在着频率混叠问题，如下图所示。,只有当信号是带限信号，并且满足、或时，这时数字滤波器的频响在折叠频率以内才能不失真的重现模拟滤波器的频响。即,但是任何一个实际的模拟滤波器都不可能完全是带限的，所以不可避免的要出现混叠现象。如果模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减的愈快，则混叠失真就愈小。因此，脉冲响应不变法只适用于带限模拟滤波器。对于带阻和高通滤波器，由于它们高端频率不衰减，因此高频分量将完全混叠在低频响应中，从而使整个频响产生失真。如果设计的高通和带阻滤波器要采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，先滤除掉高于折叠频率以上的频带，然后再使用脉冲响应不变法将其转换为数字滤波器。,3模拟滤波器的数字化方法,脉冲响应不变法要经历以下四个过程：,对进行采样，使得数字滤波器的单位脉冲响应序列,（1）,（2）,（3）,4对脉冲响应不变法的修正,数字域频响与模拟信号采样后的频谱关系是：,上式中频响与T成反比，通常为了减小脉冲响应不变法的混叠失真，一般选择较高的采样频率，于是采样周期T就会比较小，如果T很小，数字滤波器的增益就会很高，而我们一般希望的增益能与采样频率无关（与T无关）。因此，在实际应用中，脉冲响应不变法要稍做一下修改。,令，则,这样，数字滤波器的增益就不会随采样频率的变化而变化。,比较第（1）步和第（4）步,S平面的每一个极点Z平面是极点；与的系数是相同的。因此，只要知道极点就可以直接得到，而不必求解第(2)、(3)步。也就是说我们可以：,（4）,从模拟域直接映射到数字域,下面我们举例说明脉冲响应不变法的应用：,例：已知AF的系数函数用脉冲响应不变法求出相应的数字滤波器的系数函数,解：,模拟滤波器在处有一个零点；在处有一对共轭极点。,数字域中有两个零点和，有一对共轭极点。可见，脉冲响应不变法对零点没有一一对应的关系。,从幅频特性频谱图中可以看出：由于频谱混叠带来明显的失真。很显然，在处比在处下降的慢，这主要是因为“混叠”造成的。混叠的主要原因是由于模拟信号频域的不充分带限。,5脉冲响应不变法的特点脉冲响应不变法是一种时域设计法，数字滤波器是从时域进行模仿。即。,但是S平面Z平面的零点并没有这种单值映射的关系,这种时域模仿使得S平面的极点Z平面的极点为,脉冲响应不变法设计思想是,但我们可以直接从得到,频率坐标是线性变换即。因为模拟和数字频率之间的变换关系是线性的，所以可以设计出满足线性相位的滤波器。只要不发生混叠，变换后数字滤波器的频响可以不失真的恢复出模拟滤波器的频响。,或,注意：数字域的频响特性都是以为周期的周期函数，其特性对称于折叠频率，因此，由是的镜像，通常数字滤波器的频率特性我们只考虑范围的特性即可。,脉冲响应不变法最大的缺点是有频响的混叠，所以只能模仿带限的频响。因此，对衰减特性很好的低通或带通，频响混叠小。对于高通和带阻滤波器，由于高端频率不衰减，所以要加保护滤波器滤掉高于折叠频率以上的部分，再用脉冲响应不变法转化成数字滤波器。,脉冲响应不变法的最大缺点是产生混叠失真。产生的主要原因是由于S平面到Z平面的变换关系不是单值的，而是多值的映射关系，由于S平面的多值性造成频率的交叠，产生混叠现象。为了克服这一缺点，我们有必要寻求S平面与Z平面的单值的映射关系。下面我们就介绍另外一种变换方法双线性变换法。,6.7双线性变换法,为了寻求S平面与Z平面的一一对应关系，我们先把S平面压缩到某一个中介的平面的横带内（宽度从到），然后把此横带再变换到整个Z平面，这时S平面与Z平面就建立了一一对应的单值的映射关系，可以消除混叠现象。如下图所示：,1.双线性变换法,为了完成从这样一个变换过程，我们寻找它们的映射关系:,虚轴,这个映射可以通过正切变换来实现：,验证：当时，当时，当时，,的映射关系：,由得到,把此关系解析延拓（扩大）到整个S平面,令，则,得到的映射关系,映射到,将标准变换关系代入，从而得到到的双线性变换的单值映射关系,现在来验证上式中S和Z的变换关系是否满足“映射变换”的两个总要求：,将、代入双线性映射关系中，,通过验证证实：S平面虚轴()Z平面的单位圆上，表明整个虚轴是单值的对应于单位圆的一周。因此双线性变换确实消除了脉冲响应不变法所存在的混叠误差，所以它的逼近是良好的。,验证S平面与Z平面是否是因果和稳定的,当时，S左半平面Z平面的单位圆内;当时，S平面虚轴Z平面的单位圆上;当时，S右半平面Z平面的单位圆外。,通过验证得到以下结论：如果模拟滤波器是稳定的，通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也一定是稳定的。如果给定模拟滤波器的传递函数，变量S与Z之间有简单的代数关系，只要用代数置换就可以得到数字滤波器的传递函数。,说明,在本教材种，引入变换常数C，主要是为了使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率处有对应关系，通常C=2/T。因此，模拟滤波器和数字滤波器特定频率之间的关系有：,2双线性变换的频率响应S平面到平面虚轴的映射关系为：,模拟域与数字域的频率关系为：,可以看出：模拟域与数字域的频率变换关系不是线性的，而是非线性关系。,双线性变换的映射关系为：,数字滤波器的频响,没有频谱混叠双线性变换的最大优点是避免了频响的混叠效应，因为S平面的虚轴单值对应着Z平面单位圆的一周。从它们的频率变换关系中清楚的看出，当时，终止在折叠频率处，故不会有高于折叠频率的分量出现，避免了由频响产生的混叠失真，但双线性变换虽然避免了频响混叠，但却是以牺牲相位特性为代价换取的。,和的关系是非线性变换,如果模拟系统是按时延设计的线性相位的模拟滤波器，经过双线性变换后，数字滤波器将得不到这种线性相位特性，所得到的数字系统的相位不再保持线性相位特性。,3双线性变换的优缺点,数字频率和模拟频率之间的关系是,上式说明，经过的频率变换后，DF的频响等于AF的频响。,例：模拟系统中三阶切比雪夫低通滤波器（Chebyshev),从图中可以看出在靠近截止频率处有频率畸变。,模拟滤波器截止频率为，对应的数字域频率为，而经过双线性变换后数字域的频率是，。可见，经过非线性变换以后，在截止频率处的频率特性发生了畸变。因此，如果要求相位和频率是线性关系，就不能采用双线性变换法。,双线性变换适合分段常数幅频响应的滤波器，而实际中大多数滤波器均为分段常数响应滤波器，如典型的低通、高通、带通、带阻滤波器都是具有分段常数响应的滤波器，所谓分段常数响应的滤波器指在通带内要求逼近一个衰减为0的常数，阻带内要求逼近一个衰减为的常数，所以我们完全可以采用双线性变换。双线性变换所引起的频率畸变只是出现在数字滤波器靠近截只止频率处。这种畸变完全可以通过预畸变加以校正。,首先对模拟滤波器的临界频率事先加以预畸变，让，也就是使通过双线性变换后正好映射到所需的位置上去。,设计简单双线性变换是IIR滤波器设计中使用最普遍、最有成效的一种设计方法。由于S与Z之间是简单的代数关系，因此传递函数可以通过代数置换得到。即,正好映射到所需的位置上。,6.11原型变换,模拟滤波器已经形成了许多成熟的设计方法，每种滤波器都有一套准确的计算公式和大量的归一化的设计表格和曲线。所以在模拟滤波器的设计中只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通、带阻滤波器。模拟滤波器的这一套方法可以通过上述讨论的两种变换法而应用于数字滤波器的设计。下面我们讨论各种滤波器设计的问题：,一低通滤波器的设计步骤（由模拟低通到数字低通的设计）确定数字滤波器的性能要求（容限），确定各临界频率的值。,将数字域映射到模拟域,把DF的性能要求转换为相应的样本的AF的性能要求，得到模拟滤波器的临界频率,按照临界频率的要求设计模拟滤波器的传递函数通过脉冲响应不变法或者双线性变换，将,例6.1要求用脉冲响应不变法及双线性变换设计一个三阶Butterworth低通滤波器。设采样周期(即采样频率)，3dB截止频率,解：第一步:的设计Butterworth滤波器的传递函数为：,三阶Butterworth滤波器N=3，有2N=6个极点，分布在半径为的圆上，将S平面分成6等份。为了保证设计的系统是稳定的，的极点应该取S左半平面的极点，因此，S左半平面的传递函数是,其中：,当N=3时，可直接确定三阶Butterworth滤波器的传递函数为：,第二步：变换法设计滤波器脉冲响应不变法将用部分分式展开为：,将直接变换为数字滤波器的传递函数：,将上式中共轭复根合并得：,其中数字滤波器的截止频率为可以看出只与临界频率与采样频率的相对值有关，而与、的绝对大小无关，所以只要一定，所设计的数字滤波器则具有同一个传递函数，这个结论适用于所有的数字滤波器。,例6.21kHz4kHz则在数字域中的1MHz4MHz设计是相同的。,将代入中：,以上得到的是数字三阶Butterworth滤波器的传递函数，采用一个一阶基本节和一个二阶基本节并联的结构实现比较方便。,除此之外，我们还可以采用另外一种方法计算从上面的实例中知道，当求模拟滤波器的传递函数时，只是一个符号而已，它并不进行计算，乘以T后变成，最终传递函数只取决于数字域的参数。因此只需求出一个相对於采样频率归一化的“样本”传递函数即可。这种计算方法可以直接以作为模拟滤波器的临界频率来计算(让），所得到的是采样频率归一化后的模拟样本传递函数。,得到的是对采样频率归一化的模拟样本传递函数，再把它展开成部分分式形式：,T=1已归一化,双线性变换法设计步骤i)首先确定数字域临界频率,ii)确定预畸的模拟滤波器的临界频率由于双线性变换法频率变换的非线性会引起频率畸变，所以要预畸变。为了使数字滤波器的临界频率为，模拟滤波器的临界频率应为：,刚好映射到我们所要求的位置上。,得到频率归一化的模拟滤波器的样本传递函数,iv）最后将双线性变换的关系式代入，得到数字滤波器的传递函数,注意：这里所采用的模拟滤波器并不是数字滤波器所要模仿的截止频率为的那个实际滤波器，只是模拟滤波器的样本传递函数，是归一化的低通原型，它是由模拟滤波器的低通原型到数字滤波器变换的一个中间变换函数。上面介绍了如何设计一个数字低通滤波器。,iii）将代入,当我们需要设计高通、带通、带阻数字滤波器时，有两种方法：第一种：首先设计一个相应的高通、带通、带阻模拟滤波器，然后再通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器，即,第二种：直接利用模拟滤波的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计，即,上述两种方法的根本区别在于第一种方法是在模拟域进行频带变换，第二种方法是在数字域进行频带变换。,第一种方法的实现步骤是：首先确定临界频率模拟滤波器的临界频率；完成模拟高通、带通、带阻滤波器的设计；最后通过脉冲响应不变法或者双线性变换法将设计好的转换成即可。由于第一种方法和我们讨论的低通滤波器的设计完全一样，因此不再讨论。这里着重介绍第二种方法，因第二种方法更简捷方便，故得到普遍采用。由于脉冲响应不变法对于高通、带阻滤波器都不能直接采用，或者只能加了保护滤波器以后使用，因此第二种方法仅讨论采用双线性变换法直接进行频率变换的情况。,二高通变换在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置变换，只要把双线性变换中即可。,低通为高通为,将代入上式复变量S中,数字域与模拟域的频率映射关系为,由右图中看出：当，Z平面是映射在上当，Z平面是映射在上,说明双线性变换中S变量的倒置变换并不会影响变换后的稳定条件，而且轴仍然映射到Z平面的单位圆上，只是方向颠倒了。通过这样的变换，就可以直接把模拟低通变换为数字高通，如右图所示。,高通变换的计算步骤和低通变换是一样的，只是在确定模拟原型预畸变的临界频率时，应该采用,例6.3已知采样频率,设计一个三阶切比雪夫高