概率与数理统计第一章习题

第一章习题课,1掌握随机事件及样本空间，事件之间的关系及其运算.2理解频率与概率的概念，掌握概率的基本性质及其计算.3掌握古典概型，几何概率定义.4会用条件概率，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式.5事件独立性,贝努里概型.,教学要求,主要计算公式,古典概率,求逆公式,加法公式,(可以推广),求差公式,条件概率,全概率公式,乘法公式,条件概率,若事件A1,A2,.,An是相互独立的，则,贝叶斯公式,全概率公式,例1、,某地发行A，B，C三种报纸，已知在市民中订阅A报的有45%，订阅B报的有35%，订阅C报的有30%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A，B，C报的有3%。,试求下列事件的概率：,1只订A报；,2只订A及B报；,3至少订一种报纸；,4不订任何报纸；,5恰好订两种报纸；,7至多订一种报纸。,6恰好订一种报纸；,解：,设订阅A报的为“A”事件，订阅B报的为“B”事件，订阅C报的为“C”事件,1、只订A报；,=0.45-0.1-0.08+0.03=0.3,2、只订A及B报；,=0.1-0.03=0.07,由已知P(A)=0.45，P(B)=0.35,P(C)=0.3,P(AB)=0.1,P(AC)=0.08,P(BC)=0.05,P(ABC)=0.03,=0.45+0.35+0.3-0.1-0.08-0.05+0.03=0.9,=1-0.9=0.1,3、至少订一种报纸；,4、不订任何报纸；,5、恰好订两种报纸；,=0.1+0.08+0.05-0.03-0.03-0.03=0.14,=1-0.1-0.14-0.03=0.73,6、恰好订一种报纸；,7、至多订一种报纸。,从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？,例2、,法1：,法2：,法3：,解：,例4：对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为0.9，而当机器发生某一故障时，其合格率为0.3，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为0.75，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,设A：“产品合格”，,解,B：“机器调整良好”,P(B)=0.75,由贝叶斯公式,例5、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：,事件A:“试验反应为阳性”,事件B:“被诊断者患有癌症”,P(B)=0.005,求：,解,由,例6、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，求第二个人取得黄球的概率（两种方法）,A:第二人取得黄球事件,解：,B:第一人取得黄球事件,法1：,法2：,解：,设甲赢为“Ai(i=1,2,3,4)”事件，乙赢为“Bi(i=1,2,3,4)”事件,奖金应按15:1分配;,奖金应按2393:8分配.,课堂练习,1.设有事件A、B，用它们将必然事件U与和事件AB表示为若干个互斥事件的和。2.若A是B的子事件，则AB=()，AB=()3.设当事件A与B同时发生时C也发生,则()AB是C的子事件；C是AB的子事件；AB是C的子事件；C是AB的子事件。,4、设事件A是B的子事件,P(B)0，则下列选项必然成立的是（）,P(A)P(A|B)P(A)P(A|B),5、一批零件共100个，次品率为10%，每次从中取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率.,5、一批零件共100个，次品率为10%，每次从中取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取到合格品的概率.,解：设Ai表示“第i次取到的是合格品”(i=1,2，3)，所求概率为,如果取到一个合格品后就不再继续取零件，求在三次内取得合格品的概率.,6、市场上某种商品由三个厂家同时供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙和丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,（1）设Ai表示取到第i个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得:,=0.025,解：,(2)由贝叶斯公式得:,7、某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率,解：设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要,（1）P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.80.85=0.612(2)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108,依题意有,看管的事件，,为丙机床需要看管的事件，,8、三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率.,解设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A=A1UA2UA3,P(A)=P(A1UA2UA3)=,=1-0.168=0.832,9、加工某一零件共需经过三道工序.设第一、二、三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假设各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？(可用两种方法解决),0.09693,10、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为(),=0.6/0.8=3/4,或,解,设A=甲中,B=乙中,C=目标被击中,所求,P(A|C),=P(AC)/P(C),=P(A)/