机器人模型与控制-0前言1齐次变换

机器人模型与控制参考教材：1.【ROBOTDYNAMICSANDCONTROL】MW.SPONG,JOHNWILEY&SONS,20042.【机器人学】熊有伦等编著机械工业出版社1993,内容,前言相关基础知识：齐次变换运动学：位置关系和速度关系静力学动力学,0.前言,以工业机器人（关节型的机械臂）为代表,研究对象,运动学关系：位置、速度静力学关系动力学模型,运动规划控制算法控制仿真,机器人模型,1.齐次变换与刚体位姿描述,什么是齐次变换？*描述坐标系与坐标系之间姿态（角度）关系和位置关系的数学工具；*是以矩阵形式表达的；*也可以理解为旋转变换矩阵（表达姿态）的扩展。,齐次变换在机器人学中有什么用？*机器人是多刚体系统（机械臂是多个连杆（刚体）由关节连接而成的）*在每个刚体上定义一个坐标系；*刚体内的各点之间的运动学关系固定不变，在该坐标系内表示；*各刚体间及与环境间的位姿关系因关节运动而改变，以齐次变换表达刚体（坐标系）间的位姿关系。,1.1刚体位姿描述,在刚体上定义坐标系，通过坐标系在参考坐标系中的位置和姿态表达，来描述刚体位姿。,一、位置描述位置矢量通常以刚体上特征点（与刚体固连的坐标系原点OB）的位置矢量来表示刚体的位置,刚体内部的点通常先在刚体坐标系中表示，,如果想表达在参考坐标系下，需通过进一步坐标变换（后续将提到）。,二、方向（姿态）描述旋转矩阵角度表示法（综合法，不方便运算，这里不讨论）旋转矩阵法：刚体坐标系B各坐标轴相对于参考坐标系A的方向余弦组成33矩阵，或者坐标系B各坐标轴上的单位矢量相对于坐标系A的矢量表达组成的33矩阵。,旋转矩阵的性质：,单位主矢量,正交条件,右手法则,中9个元素，只有3个是独立的；,常用的旋转矩阵：,三、刚体位姿描述坐标系的描述刚体相对于参考坐标系A的位姿：可以用与刚体固连的坐标系B相对于参考坐标系A的旋转矩阵和位置矢量复合在一起来表达,四、手爪位姿的描述定义一个与手爪固连的手爪坐标系T，以T相对于参考坐标系A位姿来描述手爪位姿Z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量a（approach）；Y轴设在两手指的联线方向，称为方位矢量o（orientation）；X轴根据右手法则确定：noa，称为法向矢量n（normal）。,，其中,1.2点的映射,空间中的点在不同坐标系中的描述是不同的，利用不同坐标系之间的位姿关系，将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系。一、坐标平移（平移映射）两个坐标系的方向相同，但坐标原点不重合。如果一点P的位置在坐标系B中表示为矢量BP，坐标系B相对于坐标系A的位置用矢量APOB表示，则P点在坐标系A中的位置可由如下映射得到,二、坐标旋转（旋转映射）两个坐标系的坐标原点重合，但方向不相同。如果一点P的位置在坐标系B中表示为矢量BP，坐标系B相对于坐标系A的姿态用矩阵BAR表示，则P点在坐标系A中的位置可由如下映射得到,反过来有其中：,三、一般映射（复合映射）两个坐标系的原点不重合，方向也不相同。如果一点P的位置在坐标系B中表示为矢量BP，坐标系B相对于坐标系A的位置和姿态分别用矢量APOB和矩阵BAR表示，则P点在坐标系A中的位置可由如下映射得到,复合映射：平移+旋转变换通式：为旋转变换为平移变换定义过度坐标系C：方向与A相同，原点与B重合。,例：已知坐标系B初始位姿与A重合，首先将B相对于A的Z轴旋转30度，再沿A的XA轴移动10单位，并沿A的YA轴移动5单位。求位置映射矢量和旋转映射矩阵；若某点在B中的坐标为（3,7,0），求其在中的坐标。,例：已知坐标系B初始位姿与A重合，首先将B相对于A的Z轴旋转30度，再沿A的XA轴移动10单位，并沿A的YA轴移动5单位。求位置映射矢量和旋转映射矩阵；若某点在B中的坐标为（3,7,0），求其在中的坐标。,1.3齐次坐标和齐次变换,一、齐次坐标所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示；在3维欧氏空间中，空间一点P,直角坐标,齐次坐标,齐次坐标的表示并不唯一，各元素同乘非零，仍表示同一点；,例点P=2i+3j+4k,规定：0000T没有意义；abc0T（其中a2+b2+c20）表示无穷远点；无穷远点abc0T的非零元素a、b、c称为方向数；1000T0100T分别代表X、Y、Z轴上的无穷远点0010T*齐次坐标可以规定点的位置第4个元素非零矢量的方向第4个元素为零*机器人学中表示点的位置：前3个元素为非零直角坐标第4个元素为1,二、齐次变换上一节的复合映射对于是非齐次形式的；可以表示成齐次坐标形式,定义,齐次变换矩阵,将,直接写成,得到复合映射的齐次变换形式,将其展开即为,为31还是41，由相乘的矩阵确定,注意：,例：已知坐标系B初始位姿与A重合，首先将B相对于A的Z轴旋转30度，再沿A的XA轴移动10单位，并沿A的YA轴移动5单位。求齐次变换矩阵；若某点在B中的坐标为（3,7,0），求其在中的坐标。,例：已知坐标系B初始位姿与A重合，首先将B相对于A的Z轴旋转30度，再沿A的XA轴移动10单位，并沿A的YA轴移动5单位。求位置映射矢量和旋转映射矩阵；若某点在B中的坐标为（3,7,0），求其在A中的坐标。,齐次变换矩阵可描述坐标系间的位姿关系,例：如下齐次变换矩阵所描述的位姿关系为,齐次变换矩阵可表示点在不同坐标系间的映射,是坐标平移和坐标旋转的复合映射，可分解为两矩阵相乘,平移变换矩阵,旋转变换矩阵,其中,得到,说明：,完全由矢量决定,完全由矩阵决定，表示绕过原点的K轴旋转角,1.4运动算子,平移运动算子,AP为移动矢量,旋转运动算子,表示绕过A原点的K轴旋转角,一般运动算子,一、点的运动算子在坐标系A中，点P由初始位置AP1经平移或旋转后到达AP2,先旋转后平移时,先平移后旋转时,二、刚体的运动算子在坐标系A中，刚体B由初始方位经平移或旋转后到达,平移运动算子,AP为移动矢量,旋转运动算子,表示绕过A原点的K轴旋转角,一般运动算子,先旋转后平移时,先平移后旋转时,说明：当刚体B的初始方位与A重合时，进而，也可写成，可以理解为坐标系由A开始运动到B的算子；从结果上看，是坐标系B相对于A的位姿描述。,1.5变换矩阵的运算,CP到BP的映射,一、变换矩阵相乘给定坐标系A、B、C和任一点P，B相对于A的描述，C相对于B的描述。,BP到AP的映射,二者合并得到CP到AP的映射,复合变换,表示：C相对于A的描述；C到A的映射；C初始由A开始运动到B，再到最终位姿。,变换矩阵相乘的运算,例：,坐标系B是经过三次变换得到的：首先绕A的Z轴转90，再绕A的Y轴转90，最后相对于A移动或者，相对于动坐标系先移动，再依次绕Y、Z轴分别旋转90。,变换次序,相对运动坐标系运动（变换顺序从左向右）,相对固定坐标系运动（变换顺序从右向左）,变换次序解释,空间一参考坐标系A，刚体B（或固连在其上的坐标系B）相对于A的位姿为，可以理解为从A经运动到达B，接下来分两种情况：,(i)将刚体相对于其自身坐标系做运动T，达到新位置C，则，。对于多次运动，有，变换从左至右。,(ii)将刚体相对于坐标系A做运动T，达到新位置C，可以理解为先从A经运动T到达A，再A经运动到达C，而，因此，对于多次运动，有，变换从右至左。,注意：只需记住规则即可；对于固定坐标系，也可通过相似变换先得到,二、变换矩阵求逆已知坐标系B相对于A的齐次变换矩阵，求A相对于B的描述，。,利用分块矩阵求逆公式,得到,例：,有两个坐标系A和B，用表示B相对于A绕Z轴旋转30，并沿X轴移动4个单位，沿Y轴移动3个单位。求逆，并说明它表示的变换。,例：,有两个坐标系A和B，用表示B相对于A绕Z轴旋转30，并沿X轴移动4个单位，沿Y轴移动3个单位。求逆，并说明它表示的变换。,3,3,3,1.6变换方程,基坐标系B，机械臂末端坐标系W，机械臂手爪坐标系T，工作台坐标系S，目标坐标系G。,各坐标系之间的位姿关系分别为,可由两条支路分别得到,建立变换方程,解方程，可求得,1.7旋转矩阵的角度表示,旋转矩阵R中9个元素满足6个约束（单位正交条件），因而只有3个独立元素。如何用3个参数描述刚体姿态？,一、RPY角绕固定轴X-Y-Z旋转,RPY角是描述船舶在海中航行时姿态的一种方法。船行驶方向为Z轴，绕Z旋转(角)称为滚动（Roll）；水平与Z垂直方向为Y轴，绕Y旋转(角)称为俯仰（Pitch）；铅直方向为X轴，绕X旋转(角)称为偏转（Yaw）；机械臂手爪姿态规定类似。,B的初始方位与参考系A重合，首先将B绕XA转角，再绕YA转角，最后绕ZA转角。相对于固定坐标系，因此按照“从右向左”原则，得到,RPY角描述坐标系B位姿的法则如下：,其中,二、Z-Y-X欧拉角,B的初始方位与参考系A重合，首先将B绕ZB转角，再绕YB转角，最后绕XB转角。相对于运动坐标系，因此按照“从左向右”原则，得到（结果与RPY角一致）,Z-Y-X欧拉角描述坐标系B位姿的法则如下：,二、Z-Y-Z欧拉角,B的初始方位与参考系A重合，首先将B绕ZB转角，再绕YB转角，最后绕ZB转角。相对于运动坐标系，因此按照“从左向右”原则，得到,Z-Y-Z欧拉角描述坐标系B位姿的法则如下：,1.8旋转变换通式,前面讲的旋转变换都是绕坐标轴的旋转，现在讨论绕过原点的任意轴K转角的旋转矩阵。,一、旋转矩阵通式,设Kkxi+kyj+kzk为过原点的单位矢量，坐标系B是由A经运动R(K,)得到，因此有,为求解R(K,)，定义两个辅助坐标系A和B，分别与A和B固连，旋转之前A和B重合，A和B重合且Z轴与K重合。,A绕K轴旋转到B的同时，A绕Z轴旋转到B,由旋转之前A和B重合，A和B重合且Z轴与K重合，可得,B可以通过两个途径得到：如图所示,将二式联立，解变换方程得,进一步得,简化整理，并考虑,得到,kx1,kykz0,ky1,kxkz0,kz1,kxky0,例：,坐标系B原来与A重合，将B绕过原点的轴线,转动120，求旋转矩阵。,例：,坐标系B原来与A重合，将B绕过原点的轴线,转动120，求旋转矩阵。,二、等效转轴和等效转角,旋转变换通式的逆问题，即已知旋转矩阵各元素的值，求转轴K和转角。,将方程两边矩阵的主对角线元素分别相加，得,于是,再把方程两边矩阵的非对角线元素成对相减，得,上三式两边平方相加解得sin，再结合co