有理函数的不定积分

第四节有理函数的不定积分,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：,例1求,例2求,例3求,例4求,例5求,例6求,例7求,例8求,简单无理函数的不定积分,第四章定积分及其应用,第一节定积分的概念和性质,一、定积分的概念,定义1设函数,在闭区间,上连续，,在,内任意插入,个分点：,个小区间，各小区间的,把区间,分割成,长度分别为,小区间,，在每个,，并作乘积的和式,上任取一点,，如果不论小区间怎样分割以及,记,怎样取法，极限,总是存在，则称此极限为函数,在区间,上的定积分(definiteintegral),记为,即,其中,称为被积函数，,称为积分变量，,称为被积表达式，区间,称为积分,区间，,称为积分下限，,称为积分上限。,而与积分变量的记号无关，即,1.定积分,注意事项：,它仅与被积函数,表示一个数值，,及积分区间,有关，,2.规定：当,时，,时，,当,的各个曲边梯形面积的代数和。,3.定积分,的几何意义是曲边,、直线,及,轴所围成,二、定积分的性质,性质1,为常数）。,性质2,，恒有,性质3对于任意三个实数,，则,性质4若在区间,上，被积函数,性质5若在区间,上恒有,，则,性质6（积分中值定理）若函数,在闭区间,上连续，则在区间,上至少存在一点,使,第二节牛顿莱布尼兹公式,一、变上限函数,上连续，,设函数,在,定义,称此函数为积分上限函数或变上限函数。,定理1设函数,在,上连续，则变,上限函数,在区间,上可导，且,二、牛顿莱布尼兹公式,定理2（微积分基本定理）设函数,在,上连续，,若,是,在,上的任一,原函数，则,例1求,例2求,例3已知,，计算,第三节定积分的计算,一、定积分的换元积分法,则有定积分的换元积分公式,定理3设函数,在,上连续，函数,在区间,上有连续导数，当,在区间,上变化时，,的值在,上变化，且,例1求,例2求,例3设,在对称区间,上连续，,证明：,(1)当,是偶函数时，,(2)当,是奇函数时，,例4求,二、定积分的分部积分法,定理4设函数,和,在区间,上有连续的导数,和,，则有定积分的,分部积分公式,例1求,例2求,第四节定积分的应用,一、微元法,选取坐标系，确定积分变量及其变化区间,(1)选取积分变量根据具体问题，适当,的近似值：,(2)确定被积表达式在,的任取一个小,区间,，“以不变代变”求得整体量,相应,于区间,上的局部量,（必须注意：,与,仅相差一个比,高阶,的无穷小，否则可能会造成失误）。,其中,称为整体量,的微元或元素，记为,(3)求定积分以所求量,为被积表达式，在区间,的微元,上定积分，得,计算出定积分就得到所求量,的值。这种方法就是,微元法。,二、平面图形的面积,例1求由抛物线,，双曲线,，直线,及,平面图形的面积。,轴所围成的,所围图形的面积。,例2求抛物线,与直线,例3求椭圆,的面积。,三、旋转体的体积,椭球体的体积。,例4求椭圆,绕,轴旋转而成的,轴旋转而成的旋转体体积。,例5求由曲线,和直线,及,轴所围图形绕